Проблема вывода волнового уравнения нелинейной оптики

Рассмотрим уравнения Максвелла в общей среде без свободных зарядов и токов:

(1) ∇ ⋅ Д → "=" 0
(2) ∇ ⋅ Б → "=" 0
(3) ∇ × Е → "=" − ∂ Б → ∂ т
(4) ∇ × ЧАС → "=" ∂ Д → ∂ т

Учредительные отношения Д → "=" ε 0 Е → + п → и Б → "=" мю 0 ( ЧАС → + М → ) .

Предположим для простоты, что среда немагнитна, так что М → "=" 0 → .

Кроме того, предположим, что среда изотропна, однородна и не имеет дисперсии, так что мы можем записать плотность нелинейной поляризации как п → "=" ϵ 0 х ( | Е → | ) Е → , где х является (в общем случае) непостоянной скалярной функцией | Е → | .

Взяв завиток уравнения ( 3 ) и используя Б → "=" мю 0 ЧАС → мы получаем

(5) ∇ × ∇ × Е → "=" − мю 0 ∂ ∂ т ( ∇ × ЧАС → ) "=" − мю 0 ∂ 2 Д → ∂ т 2

Теперь мы можем использовать векторную идентичность ∇ × ∇ × Е → "=" ∇ ( ∇ ⋅ Е → ) − ∇ 2 Е → и используем определяющее уравнение для Д → чтобы получить

(6) ∇ 2 Е → − мю 0 ε 0 ∂ 2 Е → ∂ т 2 "=" мю 0 ∂ 2 п → ∂ т 2 + ∇ ( ∇ ⋅ Е → )

Теперь каждый источник, который я видел, очевидно, предполагает, что ∇ ( ∇ ⋅ Е → ) "=" 0 → , после чего получают стандартное волновое уравнение нелинейной оптики с источником поляризации:

(7) ∇ 2 Е → − мю 0 ε 0 ∂ 2 Е → ∂ т 2 "=" мю 0 ∂ 2 п → ∂ т 2

К сожалению, я не могу понять, почему это предположение оправдано. Обычный аргумент состоит в том, что, поскольку Д → "=" ε 0 ( 1 + х ) Е → то с тех пор ∇ ⋅ Д → "=" 0 у нас также есть ∇ ⋅ Е → "=" 0 .

Но этот аргумент ошибочен в нелинейном случае, поскольку х на самом деле является функцией | Е → | , так что нам нужно использовать правило произведения при вычислении оператора дивергенции:

(8) 0 "=" ∇ ⋅ Д → "=" ε 0 ∇ х ( | Е → | ) ⋅ Е → + ε 0 ( 1 + х ( | Е → | ) ) ∇ ⋅ Е →

Таким образом, мы получаем

(9) ∇ ⋅ Е → "=" − ∇ х ( | Е → | ) ⋅ Е → 1 + х ( | Е → | )

и для меня далеко не очевидно, что это равно 0 (или что градиент этого выражения равен 0 → ) (действительно, | Е → | обычно пространственно зависим, так что пространственные производные отличны от нуля).

Итак, является ли это предположение ошибочным и самое основное уравнение нелинейной оптики явно неверным, или существует правильный способ вывести волновое уравнение нелинейной оптики (7), возможно, с дополнительными предположениями о Е → ?

Ваш Анзац для нелинейной поляризации, п → "=" ϵ 0 х ( | Е → | ) Е → , не очень уместно. В частотной области это действительно может иметь зависимость примерно такого вида, но в общем случае функция отклика будет нелокальной во времени (т.е. нелинейность имеет память) и вообще задается интегралом от электрического поля. прошлые разы, умноженные на некоторое ядро ​​ответа.
Для простоты я предполагал, что среда недисперсионная. Я думаю, это должно означать, что зависимость п → на Е → мгновенно, так что нет эффекта памяти. Я согласен, что в принципе этот эффект должен быть учтен.

Ответы (1)

Вы правы, вообще термин ∇ ∇ ⋅ Е следует оставить в уравнении.

Причина, по которой его принято опускать, заключается в том, что это упрощает уравнение. Лучшее оправдание, которое я могу придумать, состоит в том, что этим членом можно пренебречь в изотропии, если восприимчивость х слабо зависит от поля.

Рассмотрим случай, когда восприимчивость вообще не меняется, поэтому х ( Е ) можно заменить константой, не зависящей от координат х 0 . Поскольку плотность заряда определяется расходимостью электрического поля, а также отрицательной расходимостью поляризации, мы имеем

∇ ⋅ Е "=" − ∇ ⋅ ( х 0 Е )
и единственный способ, которым это могло бы выполняться везде в изотропной среде * это если ∇ ⋅ Е "=" 0 везде в среде.

Чисто поперечные плоские волны подчиняются условию ∇ ⋅ Е "=" 0.

В этих случаях правая часть волнового уравнения имеет два члена

− мю 0 ∂ 2 п ∂ т 2 − ∇ ∇ ⋅ Е
но второй равен нулю, поэтому мы можем упростить уравнение и работать с RHS
− мю 0 ∂ 2 п ∂ т 2 .

Теперь эффекты нелинейной оптики обычно очень малы, и поэтому зависимость х на поле или позиции слаб. Таким образом, второй срок ∇ ∇ ⋅ Е "=" 0 , хотя и отличен от нуля, должен быть мал по отношению к первому члену

− мю 0 ∂ 2 п ∂ т 2 .

Мы по-прежнему должны иметь возможность пренебречь вторым членом и использовать то же уравнение, что и в линейном случае. Нелинейность сохранится, но изменчивость х войдет в уравнение только через первый член, где поляризация является нелинейной функцией напряженности электрического поля.

Другими словами: поскольку члены уравнения являются непрерывными функциями поля и восприимчивости, небольшое изменение восприимчивости должно вызывать лишь небольшое изменение расходимости Е . Следовательно, это значение должно быть незначительным, по крайней мере, в некотором диапазоне напряженностей поля, которые не слишком высоки.

* В кристаллах дело обстоит иначе: поскольку восприимчивость есть тензор с разными компонентами, нулевая дивергенция Д предотвращает нулевое расхождение Е во всех случаях, кроме особых, например, когда только один компонент х реализуется (когда поляризация волны совпадает с одной из главных осей кристалла).

Есть ли простой способ получить оценку величины мю 0 ∂ 2 п → ∂ т 2 для сравнения с величиной ∇ ( ∇ ⋅ Е → ) ? Если мы переместим линейную часть п → в LHS волнового уравнения и использовать мю 0 ε 0 ( 1 + х 1 ) "=" н 1 2 с 0 2 , мы получаем ∇ 2 Е → − н 1 с 0 2 ∂ 2 Е → ∂ т 2 "=" мю 0 ∂ 2 п Н л → ∂ т 2 + ∇ ( ∇ ⋅ Е → ) где LHS — волновое уравнение с линейной частью показателя преломления н 1 , а RHS — нелинейный член.
Итак, мы хотим поспорить, что | ∇ ( ∇ ⋅ Е → ) | ≪ | мю 0 ∂ 2 п Н л → ∂ т 2 | . Получить оценки для них довольно сложно, потому что точные выражения сложны. Я могу быть суетливым, но мне нравится быть уверенным в приближениях, которые я использую :)
(Кроме того, мы ожидаем, что оба этих члена будут малы, поскольку нелинейность слабая, а волны будут близки к плоским волнам, поэтому не сразу понятно, как эти члены сравниваются)
Вы правы, член дивергенции следует сравнивать с членом нелинейной поляризации. Возможно, такое сравнение возможно, когда оба Е и п Н л выражаются в виде рядов Тейлора в пространственных координатах и ​​времени. то есть Е к ( Икс , т ) "=" Е 0 , к + г л Икс л + г 4 т + . . . , вставьте это в п Н л , л ( Е ) "=" х л к я Е к Е я + . . . получить п Н л ( Икс , т ) , вычислите производные и попытайтесь найти, какое условие на коэффициенты должно выполняться, чтобы приведенное выше неравенство выполнялось.
Это может быть легче решить, если какая-то конкретная форма Е предполагается, как, например, Е ( Икс , т ) "=" ( Икс 0 е Икс + Z 0 е г ) М ( г , т ) потому что ⁡ ( Ом т − к г ) , где М ( г , т ) - неизвестная функция модуляции, но ожидается, что она будет изменяться с гораздо меньшим числом k, чем к основной волны.
Проблема вывода волнового уравнения нелинейной оптики
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v