Отсутствующая гипотеза в текстах по электромагнетизму

В лекциях Фейнмана, глава 21, я нахожу утверждение

Мы решили уравнения Максвелла. Учитывая токи и заряды в любых обстоятельствах, мы можем найти потенциалы непосредственно из этих интегралов, а затем продифференцировать и получить поля.

В книге Перселла по электричеству и магнетизму я нахожу утверждение

За исключением возможного добавления постоянного поля, пронизывающего все пространство, условия с ты р л ( Б ) "=" 4 π Дж / с и г я в ( Б ) "=" 0 , однозначно определяют магнитное поле данного распределения токов.

Сейчас передо мной нет учебника Гриффитса, но я почти уверен, что он говорит что-то подобное.

Ясно, что все эти утверждения ложны. Например, если распределения тока и заряда тождественно равны нулю, то я могу решить уравнения Максвелла, установив Е "=" г р а г ( ф ) и Б "=" г р а г ( г ) где ф и г — произвольные гармонические функции, так что, в частности, Е и Б отнюдь не уникальны (даже с точностью до добавления постоянного векторного поля).

Предположительно, тогда есть какая-то гипотеза, которую Фейнман, Перселл и другие пропустили, возможно, потому, что они считали ее слишком очевидной, чтобы ее упоминать. Что это за гипотеза?

Я думаю, что им не хватает граничных условий.
В качестве конкретного примера, к любому решению Максвелла можно добавить световые волны (ЭМ-излучение) или ближние поля (ЭМ-затухающие волны). Теперь очевидно, что исчезающие волны расходятся, но световые волны могут быть полностью компактными.

Ответы (2)

Предположение, отсутствующее во всех этих утверждениях, состоит в том, что предполагаются заданными граничные условия.

Например, для уравнения Пуассона Δ ф "=" р , решение уникально для граничных условий Дирихле и/или Неймана, см., например, раздел 1.9 в «Классической электродинамике» Джексона .

Спасибо. Мне кажется немного странным, что вы можете наложить граничные условия на поле, которое пронизывает изотропную вселенную. Я ошибаюсь, что меня это беспокоит?
@WillO: Что беспокоит в возможности создать замкнутую металлическую поверхность, которая отделяет поле внутри от внешнего (при этом замыкание на самом деле не обязательно для введения граничных условий)? То, что закрытие этой поверхности может иметь нетривиальные последствия, это то, чему мы учим в старших классах с помощью экспериментов по электростатике...
@WillO: Для поля, которое «пронизывает вселенную», подходящие условия задаются либо путем решения уравнений внутри коробки (с нулевыми граничными условиями), а затем позволяя границам коробки стремиться к бесконечности, либо требуя с самого начала что поле стремится к нулю по направлению к бесконечности быстрее, чем поверхность сферы с радиусом р растет до бесконечности..
@CuriousOne: Спасибо за редактирование вашего комментария. Я не понял первую версию, но теперь намного понятнее.
@WillO: я до сих пор не уверен, что это полностью выражает то, что я пытаюсь сказать ... но я согласен с вашим наблюдением, что реальная сложность вычисления решений уравнений Максвелла недооценивается и часто неверно представлена ​​в учебниках по физике. Когда у нас есть материя в игре, это действительно сложная задача, требующая очень тщательно разработанных численных методов и большого количества вычислительного времени.
ACuriousMind: Хорошо, это имеет смысл (как и соответствующий комментарий @Curiousone). Спасибо. Я предполагаю, что мой последний дополнительный вопрос: какие ограничения на граничные условия мы можем наложить? (Или где я могу прочитать о них?)
@WillO: Я думаю, вы, возможно, захотите снова спросить об этом в математике, потому что это кажется нетривиальной математической проблемой для волновых уравнений, и я не уверен, что физика оценивает уровень сложности существования и уникальность решений.
@WillO: Существует определенный поверхностный интеграл, который должен быть равен нулю из-за граничных условий, ср. статья в Википедии .
Я думаю, что правильный способ сказать это (или, по крайней мере, мне проще всего об этом думать) состоит не в том, что мы обязательно накладываем нулевые граничные условия на ящик, а в том, что есть некоторый ящик, в котором мы знаем значения поля (возможно, нулевые). , возможно, нет), и эти известные значения составляют граничные условия.
@WillO Re «Мне кажется немного странным, что вы можете наложить граничные условия на поле, которое пронизывает изотропную вселенную» - обратите внимание, что граничное условие, согласно которому поля стремятся к нулю в пространственной бесконечности (или, возможно, кроме того, быстрее, чем 1 / р ) на самом деле сохраняет вращательную и трансляционную инвариантность, потому что вы можете делать только конечные переводы.

Я думаю, что тексты, которые вы цитируете, относятся к локализованным зарядам и плотности тока, а поля определены во всем пространстве. Естественное требование состоит в том, что вдали от источников векторные поля затухают как 1 / р 2 или быстрее, равномерно во всех направлениях. Это гипотеза индукционного поля , подходящая для статических полей. При этом условии уравнения электростатики и магнитостатики однозначно определяют решение. Имея дело с потенциальными полями, требуется, чтобы они затухали по мере 1 / р или быстрее. Ваш контрпример не работает, так как ваши гармонические функции были бы ограничены (снизу или сверху) и, следовательно, они должны быть постоянными в силу теоремы Лиувилля для гармонических функций в р н . Поскольку они обращаются в нуль на бесконечности, они должны быть равны нулю везде.

Спасибо. Это очень полезно, и я бы, конечно, согласился, если бы он прибыл до ответа @ACuriousMind.
@Timaeus: Я думаю, они оба этого заслуживают!
Не волнуйтесь, все в порядке.
Отсутствующая гипотеза в текстах по электромагнетизму
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v