Проект «Радуйся, Мария» — из-за относительности нам нужно больше или меньше топлива для межзвездных путешествий?

Вот упрощенный расчет идеальной ракеты. Классическое ракетное уравнение для получения изменения$\Delta v$в скорости

$$\Delta v = v_\text{e} \ln \frac{m_0}{m_f}$$

где$v_e$скорость выхлопа,$m_0$начальная масса и$m_f$это конечная масса$m_f<m_0$.

Если учесть специальную теорию относительности, вы получите

$$\Delta v= c\tanh\left(\frac{v_\text{e}}{c} \ln \frac{m_0}{m_f}\right )$$

где$c$это скорость света. Для маленьких$v_e\ll c$, оба уравнения эквивалентны.

В общем,$x>\tanh(x)$для$x>0$. Это означает, что для меньшего$m_0/m_f$(меньше топлива) вы получаете большее изменение скорости с классическим уравнением.

Более подробный расчет должен включать тип ракеты, траектории, ускорение и многое другое.

Источник: ракетное уравнение Циолковского.

Дело для эридианцев

Возможно, эридианцы не думали в таких терминах. Они просто рассматривали следующий маршрут: разогнать корабль до скорости$v_0$выключите двигатель, достигните планеты с постоянной скоростью.

Если это так, возможно, они думали, что им нужна большая скорость, чтобы быстро добраться до места назначения. Но необходимое время может быть немного меньше из-за сокращения длины.

Они хотели достичь расстояния$L$с постоянной скоростью$v_0$через время$t$. Классически$t=L/v_0$, но в специальной теории относительности$t=L\sqrt{1-v_0^2/c^2}/v_0$. Это означает, что для данной скорости наблюдаемое время для пассажиров корабля меньше, чем обычно ожидается.

Вывод: возможно, эридианцы думали, что им нужна большая скорость, чем это необходимо на самом деле.

Отказ от ответственности: я ничего не знаю о книге. Тем не менее, без точного маршрута/скорости/ускорения загадка все еще не решена. Если полет такой, как описано выше, возможно, вы можете использовать уравнение ракеты, и парадокс Эридиана сохраняется (они использовали больше, чем им нужно, см. Раздел ниже), но если полет отличается, вам нужно сравнить, сколько топлива вам нужно для сравнения. к выигрышу во времени.

Я также пренебрегаю временем для ускорения и, вероятно, должен учитывать замедление, чтобы приземлиться, но это симметрично части ускорения. Так что я думаю, что на самом деле это вдвое больше топлива, но приведенные ниже аргументы все еще должны быть в силе.

Некоторые расчеты

Предположим, что эридианцы хотели достичь дистанции$L=1\;\mathrm{ly}$в$t=3\;\mathrm{years}$(как видно изнутри корабля).

В классическом случае им понадобится$v_0=c/3$, релятивистски им нужно$v_0=c/\sqrt{10}=c/3.16...$.

Помещая это в уравнение ракеты, устанавливая$x=v_e/c \ln m_0/m_f$, мы получаем это классически$x=1/3$, а относительно$x=\tanh^{-1}(1/\sqrt{10})=0.3272$. Это означает, что они могли бы использовать немного меньше топлива, если бы учитывали относительность.

Напишем уравнение для заданного$L/tc$:

Классически

$$x=\frac{L}{tc}$$ в то время как относительно

$$x= \tanh^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{1+1/(L/tc)^{2}}}\right]\approx \frac{L}{tc}\left[1-\frac{1}{6}\left(\frac{L}{tc}\right)^2\right]$$

The $x$рассчитанное релятивистски, всегда меньше ожидаемого классически. Это означает, что, фактически принимая во внимание замедление времени, вам всегда нужно меньше топлива! (согласно поездке выше).

Книга была права, я думаю, (идеальные) эридианцы действительно ошибались.

Эридианцы чувствовали, что им нужно прибыть как можно быстрее, поэтому они планировали постоянно ускоряться до какой-то сверхсветовой скорости, а затем замедляться на полпути.

Конечно, их измерения времени/скорости/расстояния по пути не имели смысла, особенно при замедлении, поэтому им приходилось много останавливаться и начинать, когда измерения не совпадали. В итоге они не использовали столько топлива, поскольку субъективно тратили меньше времени, чем предполагалось, чтобы достичь определенной точки, и начинали свое замедление раньше из-за неверных представлений о расширении расстояния.