Некоторые расчеты энергопотребления релятивистской ракеты

Я думаю, что у вас неправильная формула. Я не уверен, что понимаю все шаги, которые вы предприняли для его получения.

Вам нужен двигатель на материи-антиматерии. По сути, это производит фотоны, которые вы стреляете позади своего корабля, в процессе, который сохраняет 4-импульс. Теперь предположим, что вы начинаете с отдыха и ускоряетесь. Если$m_0$начальная масса вашего корабля,$m$это конечная масса и$E$- энергия испускаемого света, по закону сохранения импульса -4 мы имеем:

$$m_0 c^2 = \gamma m c^2 + E$$ $$0 = \gamma m v -E/c$$ Первое уравнение выражает сохранение энергии, а второе выражает сохранение импульса. Устранение $E$мы получаем: $$\frac{m}{m_0}=\sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}$$ или используя массу в качестве переменной: $$v=c\frac{m_0^2-m^2}{m_0^2+m^2}$$ Это намного лучше, чем экспоненциальная функция.

Вы хотите сделать$m/m_0$как можно меньше. Настоящим ограничением для путешествий, помимо фактического двигателя, который вам нужно построить, является количество антиматерии, которое вам нужно. Скажи, что хочешь добраться до$v=0.9c$и предположим, что масса самой ракеты является консервативной$m\approx 1000 kg$. Если вы сожжете все топливо, вам потребуется масса топлива, равная:

$$m_f = \left(\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}-1 \right) m \approx 4400 kg$$ Поэтому вам понадобится примерно две тонны антивещества.

Обратите внимание, однако, что это ничего не говорит о времени , которое потребуется для достижения этой скорости.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Некоторые люди могут быть сбиты с толку тем, почему другие ответы дают разные формулы. Более общая формула движения ракеты выглядит следующим образом:

$$v=c\tanh{\left(\frac{I}{c}\log{\frac{m_0}{m}}\right)}$$ которое также можно сформулировать в терминах быстроты $r=\tanh^{-1}(v/c)$. $I$называют удельным импульсом. В случае фотонного привода, для которого $I=c$, это сводится к формуле, которую я дал выше. Обратите внимание, что общую формулу получить труднее.

Вы допустили здесь две ошибки.

Первая ошибка заключается в том, что вы не можете просто преобразовать энергию массы в кинетическую энергию, так как это явно нарушает закон сохранения импульса. Отношение переданного количества движения к массе топлива называется удельным импульсом и обозначается$I$. Обратите внимание, что это имеет единицы скорости. Максимально возможное значение удельного импульса даже в принципе равно$c$, достигается, когда топливо может быть преобразовано в фотоны напрямую, точно в правильном направлении.

Можно показать, что уравнение релятивистской ракеты имеет вид:

$$\Delta r= \frac{I}{c}\ln\frac{m_0}{m}$$ где $r$это быстрота.

С максимально возможным удельным импульсом, с точки зрения$\gamma$, и если предположить, что он изначально находится в состоянии покоя, это становится

$$\gamma=\cosh\ln\frac{m_0}{m}$$

Предполагая окончательный$\gamma$большой, это упрощает до

$$m_0=2\gamma m$$

Другая ваша ошибка была в дифференциалах. Второй должен быть$dE=\gamma c^2 dm+mc^2 d\gamma$.

Проблема с этим подходом заключается в предположении, что «потерянная» масса покоя ракеты равна кинетической энергии ракеты. Вы не можете сделать такое предположение, не в последнюю очередь потому, что выхлоп также имеет кинетическую энергию. Вам действительно нужно вернуться к фундаментальному подходу к сохранению импульса в кадре, всегда на мгновение сопровождающем ракету. Вы можете работать с чем-то вроде подхода, который вы предлагаете, но вы должны учитывать кинетическую энергию выброшенного топлива, а также вы должны учитывать сохранение импульса - это второе уравнение говорит вам, какая часть выброшенной массы покоя превращается в кинетическую энергию. ракеты. Джон Баез хорошо рассказывает историю о похожей проблеме на своем веб-сайте.(ищите «Релятивистская ракета Джона Баэза», если ссылка не работает). Посмотрите раздел «Сколько топлива необходимо». Он предполагает оптимальные условия, при которых выхлоп выбрасывается со скоростью света и достигается идеальное преобразование топлива в свет. Ваша ситуация немного более общая (не скорость света, выхлоп с ненулевой массой покоя).

Давайте работать в правильном кадре Ракеты. В мгновенно сопутствующей инерциальной системе координат ракета преобразует небольшое количество топлива массы покоя.$\delta\,m$в общую энергию выхлопа - будьте осторожны: остальная масса выхлопа$\delta\,m_e$отличается от$m$потому что часть топлива вносит свой вклад в общую энергию, представленную импульсом выхлопа. Полная энергия выхлопа равна$\sqrt{(\delta\,m_e)^2+(\delta\,p)^2}$(я работаю с$c=1$так что$\delta\,m^2 = \delta\,m_e^2 + \delta\,p_e^2$(я работаю с$c=1$). В расчетах Джона Баэза он принимает луч света за выхлоп, так что$\delta\,m = \delta\,p_e$потому что выхлоп не имеет массы покоя. В общем, у нас есть отношения.$\delta\,p_e = \kappa_e\,\delta\,m$, где$\kappa_e\leq 1$зависит от смеси частиц, которая выбрасывается. Для упрощенной ракеты примем равномерный процесс горения топлива, так что$\kappa_e$считается постоянной и полностью характеризует процесс горения для целей данной задачи. Снова,$\kappa_e=1$для случая Джона Баэза со скоростью света и безмассовым выхлопом.

Как и в ньютоновской механике, мы просто применяем закон сохранения импульса к мгновенно сопутствующей системе отсчета, но мы должны заменить приращение скорости приращением быстроты. Это связано с тем, что скорости коллинеарных преобразований Лоренца складываются линейно, и мы хотим вычислить общее изменение движения относительно нашего начального кадра как композицию бесконечно малых ускорений (я обсуждаю эту идею подробнее здесь ) как простое суммирование (интеграл). Итак, теперь у нас есть дифференциальное уравнение для скорости ракеты относительно ее начальной системы отсчета:

$$m\,\mathrm{d}\eta = -\kappa_e \mathrm{d} m$$

так что$\eta = -\kappa_e\,\log\left(\frac{m}{m_0}\right)$. Затем вы можете преобразовать это в уравнение для$\gamma$факторы через$\cosh\eta = \gamma$. Для больших$\gamma$, а для совершенно эффективного случая светового выхлопа ($\kappa_e=1$), у нас есть$m_0\approx 2\,\gamma\, m$; то есть нужна ракета которая будет конвертировать$\frac{1\,999}{2\,000}$своей массы, чтобы исчерпать и иметь полезную нагрузку$5\times 10^{-4}$его начальной массы.

Можно, конечно, придерживаться скоростей относительно начального кадра, но интеграл будет намного сложнее, чтобы учесть замедление времени в пути.

К сожалению, если вы теперь добавите ограничение, что правильное ускорение должно быть разумным ( например, выживаемым для людей), вам потребуется ужасно много времени, чтобы достичь высокого уровня.$\gamma$и преодолевать значительные расстояния. Чтобы добраться до галактики Андромеды в$1\,g$ускорение принимает порядок$3\,000$годы.

Также не забудьте прочитать раздел 6.2 книги Misner Thorne and Wheeler "Gravity" для получения дополнительной информации. Ключевое наблюдение, полезное в этих расчетах, заключается в том, что четвертая скорость любого объекта всегда имеет единичную норму Минковского.