Прогнозирование вращения и скольжения вперед при толкании объекта

Короткий ответ:

В идеальном сценарии траектория прямоугольного параллелепипеда не зависит от трения. Основным отличием ваших настольных экспериментов от идеального сценария является ваше предположение о том, что приложенная сила постоянна (а именно в направлении).

Длинный ответ:

Сформулируем несколько предположений для идеального сценария:

1. Кубоид однороден по массе.
2. Прямоугольный параллелепипед имеет равномерный коэффициент трения (без «липких» пятен).
3. Сила, приложенная к прямоугольному параллелепипеду, действительно постоянна.

Существует также общее предположение о силе трения:

4. Силы трения всегда противоположны по направлению движению (т.$\hat f_k = - \hat v$)

Претензия 1:

Согласно предположениям 1 и 3 выше, траектория прямоугольного параллелепипеда будет комбинацией вращения вокруг центра и переноса центра.

С единой силой$\vec F$Применительно к кубоиду 2-й закон Ньютона будет иметь ненулевое ускорение центра масс и ненулевое вращательное ускорение относительно центра масс (при условии, что$\vec F$смещен от СМ).

$$\begin{array}{|l|cc|} \hline & \text{Translation} & \text{Rotation} \\ \hline \text{No Friction} & \vec F = m \vec a & \vec R \times \vec F = I \vec \alpha \\ \hline \end{array}$$

Претензия 2:

Согласно предположениям 2 и 4 выше, путь кубоида не зависит от трения.

$$\begin{array}{|l|cc|} \hline & \text{Translation} & \text{Rotation} \\ \hline \text{Friction} & \vec F + \vec f_k = m \vec a & \vec R \times \vec F + \vec \tau_k= I \vec \alpha \\ \hline \end{array}$$

Интуитивно это можно понять из предположения 4: если трение всегда является силой сопротивления (т. е. направленной позади вас), оно никогда не имеет компонент слева или справа. Следовательно, это только ускоряет или замедляет вас; это не меняет пути, по которому вы идете. Математическое доказательство приведено ниже.
Если трение не может изменить траекторию прямоугольного параллелепипеда, он все равно совершает одно и то же вращение и перемещение независимо от коэффициента трения.

Проблемы с реальными примерами

Предположение 3 является самым слабым предположением применительно к экспериментам. Возьмем, к примеру, нажатие пальцем на угол книги. В этом случае книга, скорее всего, испытывает только контактную (нормальную) силу, перпендикулярную лицу: чтобы действительно приложить постоянную силу, вам понадобится какая-то связь . Например, толкатель, который соединяется со штифтом прямоугольного параллелепипеда. В противном случае вы упускаете часть приложенной силы, параллельной лицу. Без этой настройки связи сила начнет выполнять перемещение прямоугольного параллелепипеда, но затем преимущественно вращаться по мере того, как вы продвигаетесь дальше по траектории.

---

Докажите, что силы трения не изменяют путь, по которому движется объект:

Начните с закона Ньютона, но разбейте силы на составляющие, параллельные скорости и перпендикулярные скорости:

$$\Sigma \vec F_{||v} + \Sigma \vec F_{\perp v} = m \frac{d \vec v}{dt}$$ Пусть скорость будет записана как$\vec v = v \hat v$(т.е. величина и направление). Затем: $$\frac{d \vec v}{dt} = \frac{dv}{dt} \hat v + v \frac{d\hat v}{dt}$$ Применение расширения$\frac{d\vec v}{dt}$и взяв скалярный продукт с$\hat v$: $$\Sigma \vec F_{||v} \cdot \hat v = m \frac{dv}{dt}\hat v \cdot \hat v + mv\frac{d \hat v}{dt} \cdot \hat v$$ Скалярный продукт$\vec F_{\perp v} \cdot \hat v = 0$по определению, в то время как$\frac{d \hat v}{dt} \cdot \hat v = 0$верно, потому что$\hat v \cdot \hat v = 1$по определению. Таким образом: $$\Sigma F_{||v} = m \frac{dv}{dt}$$ Показывает, что силы, параллельные v, могут изменить только величину скорости , но не ее направление.