Нелепое уравнение для скольжения и переломного момента на склоне?

Вопрос

Представьте, что блок лежит на наклонной рампе.$\theta$. Толкаем блок с силой$F_\text{push}$направлен вниз по трапу. Величина силы$F_\text{push}$выбирается так, чтобы сила трения покоя была максимальной:

Проводим пальцем вверх-вниз по высоте блока, чтобы$F_\text{push}$наносится на разной высоте. Когда сила приложена к верхней части блока, блок опрокидывается. Когда сила приложена к основанию, блок скользит. Двигаем пальцем вверх-вниз, пока не найдем высоту порога$h$: нажатие ниже$h$заставляет блок скользить и толкать выше$h$приводит к опрокидыванию блока.

Формула для высоты порога:

$$h=\frac{b-V\text{tan}\theta}{\mu -\text{tan}\theta} \text{ }(\text{Eq. 1})$$

где$b$половина основания блока,$V$- расстояние от основания до центра масс (проходящего перпендикулярно вверх от пандуса), и$\mu$- коэффициент статического трения между блоком и поверхностью рампы. (Это уравнение предполагает, что мы толкаем блок с силой, направленной вниз по поверхности рампы.)

Но когда мы начинаем подставлять значения, уравнение не всегда имеет смысл. Предположим, фиксированные значения$b=2.15 \text{ cm}$и$\mu=0.75$. Вот график$h$против$\theta$когда мы позволим$V=2.70 \text{ cm}$и когда мы позволим$V=3.70 \text{ cm}$.

Когда$V=3.70 \text{ cm}$, уравнение имеет смысл: график показывает, что блок опрокидывается тем легче, чем круче наклон ($h$уменьшается как$\theta$увеличивается). Но когда$V=2.70 \text{ cm}$, уравнение не имеет никакого смысла: график показывает, что блок труднее опрокинуть на более крутых склонах ($h$увеличивается как$\theta$увеличивается).

Я пошел и поставил эксперимент, где$V=2.70 \text{ cm}$,$b=2.15 \text{ cm}$, и$\mu=0.75$, и я обнаружил, что блок наклоняется сам по себе в$\theta=~32°=~0.56 \text{rad}$. Таким образом, оранжевые ряды данных на графике выше должны показывать$h$ уменьшение от$\frac{b}{\mu}$к$0$по мере увеличения угла. Почему уравнение дает такой бессмысленный результат для сценария, который физически возможен?

---

Получение уравнения 1

При исследовании я не смог найти уравнение для высоты порога опрокидывания и проскальзывания.$h$. Итак, вот мой вывод уравнения. 1.

Блок едва остается в равновесии. Это прямо на грани опрокидывания/скольжения. Следовательно, на угол действуют нормальная сила и сила трения покоя . Сначала уравновешиваем силы:

$$N=mg\text{cos}\theta$$ $$F_\text{push}=F_\text{s max}-mg\text{sin}\theta$$ $$F_\text{push}=\mu(mg\text{cos}\theta)-mg\text{sin}\theta$$

Затем уравновешиваем моменты:

$$\tau_\text{push}=\tau_\text{gravity}$$ $$F_\text{push}h=mgr_\perp$$ $$(\mu mg\text{cos}\theta-mg\text{sin}\theta)h=mgr_\perp$$ $$(\mu\text{cos}\theta-\text{sin}\theta)h=r_\perp \text{ }(\text{Eq. 2})$$

Мы можем найти плечо рычага$r_\perp$из немного геометрии. Расстояние$V$образует прямоугольный треугольник, где:

$$\text{tan}\theta=\frac{d_1}{V}$$ $$d_1=V\text{tan}\theta \text{ }(\text{Eq. 3})$$

Далее рисуем плечо рычага$r_\perp$для силы тяжести:

Использование этого второго прямоугольного треугольника дает:

$$\text{cos}\theta =\frac{r_\perp}{d_2}$$ $$r_\perp=d_2\text{cos}\theta \text{ }(\text{Eq. 4})$$

где два дополнительных расстояния добавляют к значению$b$:

$$d_1+d_2=b$$ $$d_2=b-d_1 \text{ }(\text{Eq. 5})$$

Подставляя уравнение 4 в уравнение 5 дает:

$$r_\perp=(b-d_1)\text{cos}\theta \text{ }(\text{Eq. 6})$$

Подставляя уравнение 3 в уравнение 6 дает:

$$r_\perp=(b-V\text{tan}\theta)\text{cos}\theta \text{ }(\text{Eq. 7})$$

Подставляя уравнение 7 в уравнение 2, и изоляция$h$, дает:

$$(\mu \text{cos}\theta-\text{sin}\theta)h=(b-V\text{tan}\theta)\text{cos}\theta$$ $$h=\frac{(b-V\text{tan}\theta)\text{cos}\theta}{\mu \text{cos}\theta-\text{sin}\theta}$$

Наконец, разделив числитель и знаменатель на$\text{cos}\theta$дает:

$$h=\frac{b-V\text{tan}\theta}{\mu -\text{tan}\theta} \text{ }(\text{Eq. 1})$$

Я не вижу ошибок ни в этом уравнении, ни в этом выводе, и когда мы устанавливаем$\theta=0°$, мы получаем правильное уравнение для горизонтального случая,$h=\frac{b}{\mu}$.