Простое вращение атомной орбитальной волновой функции

Мы знаем, что волновая функция атомной орбиты может быть записана в терминах полярных координат,

ψ ( р , θ , ф ) "=" р ( р ) А ( θ , ф )
где р ( р ) – радиальная составляющая и А ( θ , ф ) является угловой частью.

Есть много интересных орбиталей, но в частности меня интересует применение операции симметрии к д Икс у . Мы знаем, что угловая часть этой орбитали равна грех 2 ⁡ ( θ ) грех ⁡ ( 2 ф ) . Предположим, я хочу вращаться только по одной оси, скажем θ , поэтому исправляю ф и вращать θ к π / 2 . Это означает, что повернутая орбиталь теперь записывается как А ( θ + π / 2 , ф ) "=" грех 2 ⁡ ( θ + π / 2 ) грех ⁡ ( 2 ф ) . Мы знаем из триггера. что грех ⁡ ( а + π / 2 ) "=" потому что ⁡ ( а ) , поэтому угловая часть нашей преобразованной орбитали теперь может быть записана как

А ( θ + π / 2 , ф ) "=" потому что 2 ⁡ ( θ ) грех ⁡ ( 2 ф )

однако графические подходы к этой проблеме для реальной орбиты предполагают это С ^ 4 вращение должно отдавать − д Икс у . Что мне не хватает?

Ответы (1)

Вы сделали вращение неправильно --- вращение, чтобы добавить 90 градусов к θ не добавляет константу к θ , он поворачивает плоскость xy на 90 градусов. Угол, который был раньше ф сейчас θ -как в том, что он вращается в плоскости, включающей ось z, и ф зависимость полностью изменена.

Самый простой способ повернуть эту угловую волновую функцию — заметить, что это угловая часть квадратичного многочлена 2xy. Поворот на 90 градусов вокруг оси y переводит z в x и x в минус z, что дает многочлен - 2yz. Подставляя угловую форму z и y, вы получаете

А ( θ , ф ) "=" − потому что ⁡ ( θ ) грех ⁡ ( θ ) грех ⁡ ( ф ) "=" − потому что ⁡ ( 2 θ ) грех ⁡ ( ф )

В общем, не вращайте угловые волновые функции в полярных координатах. Запишите их в виде многочленов и поверните их прямоугольную форму координат. Существует табличный способ записать вращение для угловых волновых функций в терминах самих себя, но это обычно более проблематично, чем преобразование, как я сделал выше.

Где я могу прочитать больше об этом табличном способе записи их с точки зрения самих себя? Причина, по которой я заинтересован в этом, заключается в том, что я пытаюсь открыть для себя свойства преобразования линейных комбинаций, адаптированных к симметрии, но я обнаружил, что не могу надежно атаковать это с помощью графического подхода.
Важно отметить, что мне это интересно, потому что я не вижу, как показанная выше повернутая угловая функция связана с − д Икс у .
Вращение угловых функций в самих себя известно как представление целочисленного спина группы вращения, и оно рассматривается в большинстве книг по квантовой механике под термином «угловой момент». Если вы игнорируете физику, вы можете прочитать эту главу напрямую. В формулах, которые вы хотите использовать, используется матрица «D» для записи повернутых версий угловых частей с точки зрения других Y с тем же l и разными m, вы увидите D_{mm'}(\theta).
Прохладный. Я обнаружил, что получаю ответ, вращая г вместо оси. Спасибо за помощь!
Хороший Java-апплет находится здесь: falstad.com/qmatom Вы можете вращать орбитали с помощью мыши.
Простое вращение атомной орбитальной волновой функции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v