Какая интуиция стоит за матрицей плотности?

Вот как вы можете думать об этом — мы будем специализироваться на конечномерном гильбертовом пространстве.$\mathcal H$для простоты. Абстрактно, состояние квантовой системы должно быть отождествлено с распределением вероятностей для каждого возможного измерения.

Заданный самосопряженный оператор$A$можно расширить как$A=\sum_i \lambda_i \Pi_i$, где$\lambda_i$это$i^{th}$собственное значение и$\Pi_i$оператор ортогонального проектирования на$i^{th}$собственное пространство. Имея это в виду, луч $\boldsymbol \Psi$в базовом гильбертовом пространстве определяет распределение вероятностей следующим образом. Выберите любой вектор$\psi$от этого луча; то вероятность измерения$A$иметь ценность$\lambda_i$просто

Используя это как мотивацию, мы определяем событие как ортогональный проектор.$\Pi$, а вероятность того, что это событие будет

В этом смысле,$P_\Psi$представляет собой вероятностную меру на множестве$\mathcal P(\mathcal H)$операторов ортогонального проектирования. Теперь мы спросим, ​​является ли это наиболее общей формой вероятностной меры; на этот вопрос дает отрицательный ответ теорема Глисона , в которой говорится, что множество всех вероятностных мер находится во взаимно однозначном соответствии с множеством положительно-полуопределенных самосопряженных операторов$\rho$с$\mathrm{Tr}(\rho)=1$(т. е. операторы плотности), при этом соответствующая мера вероятности задается выражением$\Pi \mapsto \mathrm{Tr}(\Pi \rho)$. Вероятностные меры, возникающие из лучей в$\mathcal H$— которые соответствуют так называемым чистым состояниям — образуют строгое подмножество всех вероятностных мер.

Доказательство теоремы Глисона является техническим и, на мой взгляд, выходит за рамки ответа PSE. Однако полезно видеть, насколько недостаточно набора чистых состояний. Учитывать$\mathcal H= \mathbb C^2$- существует ли состояние системы, вероятностная мера которого равномерна, такое, что для любой наблюдаемой$A$с двумя различными исходами (собственными значениями) вероятность каждого равна 1/2?

Если мы ограничимся чистыми состояниями, то ответ будет отрицательным, что легко увидеть. Учитывать$P_\Psi$для некоторого произвольного луча$\Psi$, позволять$\psi$— нормализованный вектор в этом луче, и пусть$\phi$быть нормализованным вектором в ортогональном дополнении к$\Psi$. Затем$\{|\psi\rangle\langle\psi|,|\phi\rangle\langle\phi|\}$представляет собой набор ортогональных проекторов, сумма которых равна идентичности, но$P_\Psi(|\psi\rangle\langle\psi|)=1\neq 1/2$и$P_\Psi(|\phi\rangle\langle\phi|) = 0\neq 1/2$.

В результате, если мы хотим обобщить, чтобы учесть такие статистические ансамбли, мы должны увеличить пространство состояний из набора лучей в$\mathcal H$к множеству операторов плотности на$\mathcal H$. Нетрудно показать, что последние объекты можно записать$\rho = \sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle \psi_i|$где$\sum_i p_i = 1$и$\{\psi_i\}$представляет собой некоторый набор единичных векторов в$\mathcal H$.

$|\Omega\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\Psi\rangle+|\Phi\rangle)$это состояние суперпозиции , но это состояние само по себе и будет развиваться соответственно. Если бы он описывал систему, претерпевающую двухщелевую дифракцию, с$|\Psi\rangle$волновая функция одной щели и$|\Phi\rangle$что из другого, эволюция$|\Omega\rangle$даст вам интерференционную картину с двумя щелями, потому что обе щели вносят свой вклад. Частица проходит через обе щели, так как это суперпозиция.

$\rho=\frac{1}{2}(|\Psi\rangle\langle\Psi|+|\Phi\rangle\langle\Phi|)$представляет собой статистическую смесь, означающую, что система находится либо в$|\Psi\rangle$ или в$|\Phi\rangle$. То есть вы знаете , что частица прошла через одну из двух щелей, только не знаете какую. Матрица плотности позволяет развивать два состояния одновременно, но каждое из них развивается как единое состояние, а не как суперпозиция.