Противоречие между осцилляциями Раби и сдвигами энергии в эффекте Штарка переменного тока

По своей сути осцилляции Раби и расщепления Аутлера-Таунса описывают одну и ту же ситуацию, но делают это с разных точек зрения и отслеживают разные решения одного и того же уравнения Шредингера. Когда вы описываете осцилляции Раби, вы смотрите на зависящее от времени поведение собственного состояния атома, когда вы добавляете в смесь гамильтониан взаимодействия; с другой стороны, Аутлер-Таунс рассматривает ту же проблему и решает, что ее интересуют только собственные состояния полного гамильтониана.

(Они также описывают принципиально разные эксперименты с точки зрения масштабов времени, используемых для вашего измерительного устройства, но я вернусь к ним позже.)

---

Тем не менее, упоминание о мгновенных собственных состояниях немного запутало ситуацию, поэтому позвольте мне более подробно изучить, что именно мы имеем в виду, когда говорим о собственных состояниях с точки зрения Аутлера-Таунса.

В качестве отправной точки возьмем соответствующий раздел в Википедии , попробуем его распаковать:

В соответствующей вращающейся системе отсчета и в приближении вращающейся волны$\hat {H}$сводится к

$$\hat {H}=-\hbar \Delta |e\rangle \langle e|+{\frac {\hbar \Omega}{2}}\bigg(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|\bigg). \tag{$*$}$$ Где $\Omega$- частота Раби, и $|g\rangle ,|e\rangle$являются сильно связанными голыми состояниями атома. Собственные значения энергии $$E_{{\pm }}={\frac {-\hbar \Delta }{2}}\pm {\frac {\hbar {\sqrt {\Omega ^{2}+\Delta ^{2}}}}{2}}$$ и для небольшой расстройки, $$E_{{\pm }}\approx \pm {\frac {\hbar \Omega }{2}}.$$

Здесь все выглядит законно: приближение вращающихся волн (RWA) в целом вполне оправдано, и это действительно соответствующие собственные векторы и собственные значения.

Улов, однако, приходит гораздо раньше:

В соответствующей вращающейся системе отсчета

именно отсюда может возникнуть большая часть путаницы - по сути, из-за перехода к подходящей картине взаимодействия. Эта установка означает, что при диагонализации гамильтониана Аутлера-Таунса$(*)$, ваши базисные состояния уже содержат много информации об эволюции во времени, потому что относительно статических собственных состояний$|0\rangle$и$|1\rangle$, базисные состояния вращающейся системы отсчета задаются выражением

$$|g\rangle =|0\rangle \quad\text{and}\quad |e\rangle =e^{-i\omega t}|1\rangle$$ (где и это, в свою очередь, означает, что собственные состояния $|\pm\rangle$можно увидеть, что гамильтониан с вращающейся системой отсчета удовлетворяет тому точному свойству, что $\hat H|\pm\rangle = E_\pm |\pm\rangle = \hbar \omega_\pm|\pm\rangle$, но на гораздо более фундаментальном уровне они действительно кодируют два линейно независимых решения зависящего от времени уравнения Шредингера: $$\begin{align} e^{-i\omega_+ t}|+\rangle &= e^{-i\omega_+ t}\left(A_+|g\rangle + B_+|e\rangle\right) = A_+e^{-i\omega_+ t}|0\rangle + B_+e^{-i(\omega_+ +\omega) t}|1\rangle ,\quad\text{and}\\ e^{-i\omega_- t}|-\rangle &= e^{-i\omega_- t}\left(A_-|g\rangle + B_-|e\rangle\right) = A_+e^{-i\omega_- t}|0\rangle + B_-e^{-i(\omega_- +\omega) t}|1\rangle . \end{align}$$ Во вращающейся системе отсчета они упрощаются до эволюционирующих собственных состояний, но важно иметь в виду, что, если смотреть с точки зрения исходного базиса, они на самом деле являются довольно сложными решениями.

---

Сказав все это, теперь мы можем забыть об исходной основе, потому что формализм колебаний Раби также имеет тенденцию работать с точно такой же вращающейся системой отсчета, которую я разработал выше, поэтому давайте просто примем тот факт, что$|e\rangle$содержит некоторую скрытую зависимость от времени в качестве предостережения, и просто смиритесь с этим.

Таким образом, обе проблемы связаны с гамильтонианом

$$\hat {H}=-\hbar \Delta |e\rangle \langle e|+{\frac {\hbar \Omega}{2}}\bigg(|e\rangle \langle g|+|g\rangle \langle e|\bigg), \tag{$*$}$$ и теперь мы можем довольно просто изложить различия между ними: формализм колебаний Раби склонен искать решения вида $$i\partial_t |\psi(t)\rangle = \hat H |\psi(t)\rangle, \quad \text{under }|\psi(0)\rangle = |g\rangle,$$ тогда как Аутлер-Таунс просто решает для $$\hat H|\pm\rangle = \hbar \omega_\pm|\pm\rangle.$$ И, поскольку они, по сути, отличаются только изменением базиса относительно того, какую пару решений они отслеживают, вы, очевидно, можете выразить решения проблемы Раби как суперпозицию собственных состояний Аутлера-Таунса, $$|\psi(t)\rangle = \frac{1}{A_+B_--A_-B_+}\bigg( e^{-i\omega_+t}B_-|+\rangle - e^{-i\omega_-t}B_+|-\rangle \bigg),$$ а как относительная фаза $e^{-i(\omega_+-\omega_-)t}$между этими двумя собственными состояниями развивается, $|\psi(t)\rangle$уходит из жизни $|g\rangle$чтобы иметь такой же большой компонент вдоль $|e\rangle$как $|+\rangle$делает.

---

На практике, если вы ищете осцилляции Раби, у вас обычно есть какой-то способ измерения населения на атомной основе, и обычно вам нужно, чтобы это было быстрее, чем временная шкала осцилляции Раби.$\sqrt{\Delta^2+\Omega^2} \geq \Omega$.

Напротив, сдвиги Аутлера-Таунса обычно проявляются, если вы измеряете спектр поглощения (или что-то подобное), когда исследуете переходы из какого-то дополнительного состояния.$|a\rangle$в какой-либо другой спектральной области, и для этого обычно требуется, чтобы длина зонда была больше , чем период Раби: разрешение расщепления Аутлера-Таунса требует разрешения по частоте меньше, чем

$$\omega_+-\omega_- = \sqrt{\Delta^2+\Omega^2}$$ и это можно сделать только в том случае, если ваш зонд длится дольше, чем период Раби. Как видите, фактические наблюдения расщеплений Аутлера-Таунса и осцилляций Раби описывают принципиально несовместимые способы измерения волновой функции.

---

Итак, наконец, и только потому, что я могу, я включу здесь бесстыдную заглушку к тому факту, что расщепления Аутлера-Таунса теперь можно измерить в реальном времени, причем расщепления появляются и исчезают по мере того, как световой импульс усиливается, а затем затухает. по сравнению с импульсом, который вы используете для наблюдения за поглощением, так что теперь вы можете подумать об измерении вещей, которые выглядят вот так,

где вы видите (численное моделирование) расщепление, вызванное$\lesssim 10$Импульс ближнего ИК-диапазона продолжительностью в один цикл, зондируемый широкополосным импульсом экстремального УФ-излучения, который намного короче периода ИК-диапазона (да, это то, что вы можете сделать и измерить), сканируя задержку между двумя импульсами. импульсы.

Это растущая область, известная как аттосекундная спектроскопия нестационарного поглощения , и мы можем многое сказать в настоящее время и даже больше того, что мы сможем сказать в ближайшие годы с точки зрения того, как растут такие вещи, как расщепление Аутлера-Таунса и развиваются в естественных временных масштабах атомов.

Картина конечно сложнее (и например на картинке выше кажется, что РВА может вообще не резать даже в режимах, где расщепление в оптических режимах (!)), так что просто оставлю для дальнейшего чтения бумаги, откуда взялась эта цифра,

• Прохождение изолированного аттосекундного импульса в атоме, облаченном в сильное поле А. Н. Пфайффер и С. Р. Леоне. физ. Rev. A 85 , 053422 (2012) .

и второй документ в том же духе,

• Взгляд во временной области на расщепление Аутлера-Таунса в переходном аттосекундном поглощении атомов гелия, обработанных лазером. М Ву и др. физ. Ред. А 88 , 043416 (2013) .

Оба способа описания эквивалентны и одинаково допустимы, но в определенных ситуациях один из них может оказаться более удобным. Можно использовать либо собственные функции нестационарных$H_0$или собственные функции зависящих от времени$H(t)$, так как оба самосопряжены и имеют полный набор собственных функций. Выбор обычно зависит от частоты внешнего поля.

Сдвиги уровней из-за внешнего поля рассматриваются, когда внешнее поле изменяется достаточно медленно (например, в микроволновых частотах), чтобы эти сдвиги уровней можно было обнаружить с помощью другого излучения более высоких частот (оптического, УФ).

Математически это подтверждается тем фактом, что если нет другого внешнего возмущения, то$\psi$функция может быть с хорошей точностью выражена в виде суммы

$$\psi(t) = \sum_m a_m \Phi_m(t)$$ где коэффициенты $a_m$постоянны во времени и $\Phi_m(t)$являются собственными функциями полного гамильтониана: $$H(t)\Phi_m(t) = E_m(t) \Phi_m(t).$$ Собственные значения $E_m$изменение во времени, которое можно описать как изменение уровней энергии.

Если внешнее поле изменяется слишком быстро (частота, сравнимая с резонансной частотой$(E_1-E_0)/\hbar$или выше), аппроксимация нестационарного$a_m$больше не является точным, и как собственные функции, так и коэффициенты меняются со временем. В таком случае более принято выражать$\psi$функционировать как

$$\psi(t) = \sum_m c_m(t) \Phi^{0}_m$$

где$\Phi^0_m$являются собственными функциями основного стационарного гамуильтониана:

$$H_0\Phi^0_m = E^0_m \Phi^0_m.$$ Тогда и собственные функции, и собственные значения фиксированы во времени, и независимость от времени может быть сохранена без ограничения общности только в коэффициентах $c_m$.