Наиболее общее сепарабельное решение свободного уравнения Дирака

Оператор Дирака$H=-\alpha\cdot i\nabla+\beta m$является самосопряженным на$L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^4)$. Поэтому вы можете написать общее решение как$\psi(t,x)=e^{-itH}\psi_0$,$\psi_0\in L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{C}^4)$.

Задача с явными решениями «типа собственного вектора» (для энергии$E$) заключается в том, что они не могут принадлежать$L^2$пространство, так как спектр оператора непрерывен. В то время как уравнение на собственные значения (в подходящем пространстве, которое не $L^2$) легко решается в явном виде для лапласиана и дает обычные плоские волны, для оператора Дирака он сложнее, поэтому физики делают предположение, которое вы написали.

Тем не менее наиболее общее решение в соответствующем физическом пространстве$L^2$, как я сказал выше, совершенно точно определяется математически как$e^{-itH}\psi_0$, данный$\psi_0\in L^2$. (это не так явно, очевидно, но, безусловно, четко определено)