Почему плоскую волновую функцию можно рассматривать как луч, а не как отдельную частицу?

Мой профессор сказал мне, что следующая волновая функция не может быть нормализована, поэтому она не представляет собой частицу.

ψ ( Икс ) "=" А е я к Икс

Однако далее он говорит, что волновую функцию можно рассматривать как пучок частиц с использованием ряда Фурье, однако я не понимаю, как это вообще возможно, и задался вопросом, может ли кто-нибудь предоставить какое-то доказательство?

Возможно, ваш профессор имеет в виду, что волновая функция, представляющая амплитуду вероятности наблюдения частицы, должна быть нормализована. В противном случае он не может дать правильную интерпретацию вероятности. Такую волновую функцию можно представить в виде спектра плоских волн.

Ответы (1)

Здесь довольно хорошее обсуждение случая свободных частиц . Я предполагаю, что вы показали, что ψ не нормализуется.

Почему ψ ненормируемость означает, что он не может представлять частицу? Ну, это представляет собой плоскую волну с постоянной амплитудой везде (изменяется только фаза). Поскольку амплитуда волновой функции говорит вам о вероятности найти частицу в заданном месте, вы можете думать об этом как о предположении, что частица имеет одинаковую вероятность оказаться где угодно во Вселенной, что на самом деле не соответствует нашей идее. частицы. В чисто математических терминах мы обычно ограничиваем наше внимание решениями уравнения Шрёдингера, которые интегрируемы с квадратом, что не является этим решением. Это означает, что это решение не является частью нашего гильбертова пространства. Почему это происходит? Обратите внимание, что ψ имеет один к -компонента, которая соответствует импульсу. Таким образом, он имеет бесконечно острый импульс (его импульс в точности равен к ), и, следовательно, бесконечно размытое положение по принципу неопределенности Гейзенберга.

Однако это не означает, что это решение не важно! Уравнение Шредингера является линейным дифференциальным уравнением, поэтому выполняется принцип суперпозиции. Это означает, что если ψ 1 удовлетворяет уравнению Шредингера и ψ 2 удовлетворяет уравнению Шрёдингера, то ψ 1 + ψ 2 также будет удовлетворять уравнению Шредингера!

Почему это важно? Что ж, мы можем построить нормализуемые решения, взяв линейные комбинации свободных частиц, так называемые волновые пакеты. Возьмем некоторую функцию ф ( к ) который описывает, как наши амплитуды колеблются в к . Это соответствует взятию нескольких компонентов импульса, например, введению некоторого «разброса» значения импульса. Затем сформируйте линейную суперпозицию как:

ψ 3 ( Икс ) "=" А ∫ − ∞ ∞ г к   ф ( к ) е я к Икс
Это называется пакетным решением. Обратите внимание, что это решение уравнения Шредингера по линейности (представьте интеграл как бесконечную сумму). Однако для правильного выбора ф ( к ) , ψ 3 можно сделать нормализуемым! По сути, вы суммируете несколько частиц с разным импульсом. к , что ваш профессор называет "пучком" частиц. Если вы хотите думать об этом в физических терминах, то мы делаем волновую функцию менее локализованной по импульсу и тем самым достигаем большей локализации по положению.

Так как же это связано с рядом Фурье? Ну, заметьте, что ψ 3 ( Икс ) выше есть (с точностью до постоянных множителей) не что иное, как преобразование Фурье функции ф ( к ) . Это полезно, когда вы решаете зависящее от времени уравнение Шредингера, поскольку решение для свободных частиц имеет простейшую возможную эволюцию во времени, и любое разумное начальное состояние системы может быть преобразовано Фурье. Таким образом, один из способов получить эволюцию во времени в квантовой механике — это преобразовать Фурье исходную волновую функцию и добавить эволюцию во времени. Это эквивалентно методу разделения переменных для решения PDE.

Конечно, есть и другие варианты исправления решения со свободными частицами. Один из них состоит в том, чтобы потребовать, чтобы система находилась в некотором (произвольно большом) конечном ящике. Тогда решение нормализуемо и находится в гильбертовом пространстве. Это интересное решение, потому что оно явно приводит к проблемам с относительностью, если ящик достаточно велик. Эта и другие связанные проблемы привели к развитию релятивистской квантовой механики и, в конечном счете, к квантовой теории поля.

Извиняюсь за поздний ответ. Я отметил вопрос как ответ, однако я хотел бы устранить недоразумение. Поправьте меня, если я ошибаюсь, если я позволю ф ( к ) "=" А е я к Икс бы ψ 3 ( Икс ) стать суммой дельта-функций Дирака. Если да, то как это представляет пучок частиц?
Собственно, выбирая ф ( к ) таким образом, все равно приведет вас к той же проблеме, поскольку вы получите интеграл от е я 2 к Икс , который не более нормализуем, чем е я к Икс . В общем, вы не можете выбрать любой ф ( к ) , требование состоит в том, что ф ( к ) делает ψ 3 нормализуема, так что она живет в гильбертовом пространстве. Взгляд на «пучок частиц» может сбивать с толку, потому что мы работаем с гамильтонианом одной частицы. Но вы можете думать о ф ( к ) как представление суммы волн, которые интерферируют. Если вы думаете о корпускулярно-волновом дуализме, то это можно представить как сумму частиц.
Если вы не можете разложить ψ ( Икс ) "=" А е я к Икс в сумму с помощью преобразования Фурье. Как это можно считать суммой волн, то есть частиц?
Почему плоскую волновую функцию можно рассматривать как луч, а не как отдельную частицу?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v