Путаница с частными производными как базисными векторами

Итак, я увидел, что производная по направлению может быть записана как

г ф г λ "=" г Икс я г λ г ф г Икс я

И мы можем определить д г Икс я как базисные векторы и г Икс я г λ как компоненты. Чего я не понимаю, так это почему г ф г λ считается вектором? Это производная функции по параметру и, конечно же, это не вектор?

Т.е. в векторной записи производная по направлению задается скалярным произведением

г ф г λ "=" н ^ ⋅ ∇ ф
который является скаляром, но в тензорной записи это не так?

Знакомы ли вы с нотацией суммирования Эйнштейна?
Важно отметить, что ф ′ ( λ ) не вектор, а г / г λ является. В частности, это вектор, который соответствует «стрелке», указывающей на λ направление. Причина, по которой это вектор, связана с тем фактом, что частные производные координат находятся во взаимно однозначном соответствии с векторами-столбцами.
Кроме того, где находится г ф / г λ считается вектором? У вас есть источник для этого?
Обратите внимание, что ссылка на physicspages.com больше не работает и по какой-то причине исключена из интернет-архива. Вот кешированная копия связанной статьи: pastebin.com/raw/cf1iFr30

Ответы (2)

Я думаю, что автор physicspages просто запутался. г ф / г λ является скаляром, а не вектором. Это скалярное произведение ковектора ∇ ф с вектором г Икс / г λ . Они говорят: «Относительно частных производных как базисных векторов...» и продолжают так, как если бы ∂ ф / ∂ Икс и ∂ ф / ∂ у были базисными векторами. Это не верно. В условном обозначении, которое они имеют в виду, это операторы ∂ / ∂ Икс и ∂ / ∂ у которые используются в качестве базисных векторов.

В этом соглашении об обозначениях операторы частных производных никогда ни к чему не применяются. Справа от них никогда ничего не написано. Соглашение представляет собой прием с обозначениями, который использует изоморфизм между векторами и производными операторами, но на самом деле не требует взятия производной чего-либо.

Мысль, которую они, вероятно, пытаются выразить, заключается в том, что в их примере их параболоид встроен в многомерное пространство (чего обычно не бывает в общей теории относительности). Они неаккуратны/запутаны со своими обозначениями, потому что они используют символ ф означать скалярное поле, заданное на ( Икс , у ) самолет, но и лечат ф как если бы это был вектор положения в ( Икс , у , г ) космос.

Происходит ли идея базисных векторов как частичных также из идеи, что мы можем записать базисные векторы в плоских декартовых координатах как е ^ α "=" ∂ р → ∂ Икс α где р → является вектором положения? Однако в искривленном пространстве нет понятия вектора положения, поэтому мы опускаем его?

Производная по направлению д ф д λ на самом деле не является вектором в пространстве, натянутом на Икс я . Источник пытался сказать, что в абстрактном векторном пространстве, натянутом на операторы частных производных , г д λ можно рассматривать как вектор.

* http://www.physicspages.com/2013/02/10/tangent-space-partial-derivatives-as-basis-vectors/

Это не совсем правильно. ∂ ф / ∂ λ не оператор, ∂ / ∂ λ является.
Исправлено, спасибо. Вы получаете векторный оператор из этого пространства, который вы можете применить к ф .
Я тоже не думаю, что новая версия ответа верна. Автор physicspages этого не говорит г / г λ является вектором (что, возможно, может иметь некоторый смысл), они подразумевают, что г ф / г λ является вектором (говорят, что у него есть компоненты), что является просто ошибкой.
Я так полагаю. Отсюда и ответ, утверждающий, что это то, что авторы «пытались сказать», а не то, что они сказали на самом деле.
Путаница с частными производными как базисными векторами
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v