Производная Ли против ковариантной производной в контексте векторов Киллинга

Хороший вопрос. Один из способов думать об этом состоит в том, что с учетом метрики$g$, заявление$\mathcal L_Xg = 0$говорит что-то о метрике , тогда как$\nabla_Xg = 0$говорит что-то о связи . Что теперь$\mathcal L_Xg = 0$говорит, что поток$X$, где он определен, является изометрией метрики, а$\nabla_Xg = 0$Говорит, что$\nabla$переносит пару касательных векторов вдоль интегральных кривых$X$таким образом, что их внутренний продукт остается одним и тем же.

В качестве примера рассмотрим модель верхней полуплоскости гиперболической плоскости. Его метрика$y^{-2}(dx^2 + dy^2)$, так ясно$\partial_x$векторное поле Киллинга; его течение, горизонтальное перемещение, есть изометрия. Дело в том, что$\nabla_{\partial_x}g = 0$ничего не говорит о$g$, но это говорит о том, что евклидов параллельный перенос совместим с этой производной соединения по направлению.

Теперь рассмотрим$\partial_y$. Это, конечно, не векторное поле Киллинга, поскольку вертикальный перенос не является изометрией. Однако связь может быть сделана такой (по теореме Леви-Чивиты), что пара касательных векторов может быть перенесена параллельно таким образом, что внутренний продукт сохраняется.

РЕДАКТИРОВАТЬ

Думаю, у меня есть более наглядный пример: рассмотрим сферу, встроенную в$\Bbb R^3$. Выберите ось и возьмите векторное поле скорости$\xi$связано с вращением вокруг оси с некоторой постоянной угловой скоростью. Также рассмотрим второе векторное поле$\zeta$то есть везде (в окрестности экватора, любым плавным образом простираться к полюсам) пропорциональна$\xi$, но скорость везде постоянная, как на этом изображении

(скачал с этой страницы ).

Очевидно$\xi$является полем Киллинга, поскольку оно интегрируется в изометрию. Непосредственный способ увидеть это$\zeta$не является, заметив, что кривые, параллельные экватору, остаются параллельными экватору под действием потока$\zeta$, следовательно, и их касательные векторы. Что происходит с кривой, касательный вектор которой на экваторе указывает на полюс, так это то, что поток$\zeta$перемещает точку на экваторе на меньший угол, чем точка над экватором, поэтому эти два вектора не остаются перпендикулярными. С другой стороны, при параллельной транспортировке два перпендикулярных касательных вектора к точке на экваторе останутся перпендикулярными как при$\xi$И в$\zeta$, так как они зависят только от ограничения векторных полей на экватор, где они равны. Это ничего не говорит о том, что векторное поле порождает изометрию, т.е. является векторным полем Киллинга.

В качестве производных производные Ли и ковариантные производные включают сравнение тензоров в разных точках многообразия. Они отличаются предписанием, данным для сравнения тензоров в двух разных точках.

Ключевое понятие с ковариантной производной$\nabla_\xi = \xi^a\nabla_a$является параллельным транспортом. Он определяется так, что при движении по геодезической в ​​направлении$\xi^a$, внутренние произведения между параллельно транспортируемыми векторами сохраняются. Этот внутренний продукт обязательно включает метрику (это в основном то, для чего предназначена метрика), поэтому ковариантная производная также обязательно зависит от метрики. Чтобы это определение имело смысл, также важно, чтобы метрика транспортировалась параллельно во всех направлениях, что приводит к определяющему условию, о котором вы, вероятно, хорошо знаете,$\nabla_a g_{bc}=0$.

Напротив, производная Ли$£_\xi$дает изменение тензора из-за диффеоморфизма. Он говорит вам, как тензор изменяется из-за однопараметрического семейства диффеоморфизмов, следующих за потоками вектора$\xi^a$. Поскольку диффеоморфизмы не ссылаются на метрику, одно из ключевых свойств производных Ли состоит в том, что они вообще не зависят от метрики!

Еще один очень хороший способ думать о производных Ли — использовать систему координат, адаптированную к вектору$\xi^a$, так что он имеет компоненты$\xi^\alpha = \delta^\alpha_0$. Тогда в этой системе координат производная Ли есть просто частная производная$\partial/\partial x^0$. Уравнение Киллинга в этой системе координат имеет вид$£_\xi g_{\alpha\beta} = \frac{\partial}{\partial x^0}g_{\alpha\beta} = 0$, т.е. метрика не зависит от координаты$x^0$. Теперь это должно иметь большой интуитивный смысл: метрика одна и та же, даже если вы переходите к разным значениям$x^0$.

Надеюсь, это иллюстрирует большие различия между двумя производными: ковариантная производная должна использоваться для измерения того, переносится ли тензор параллельно, в то время как производная Ли измеряет, является ли тензор инвариантным относительно диффеоморфизмов в направлении вектора.$\xi^a$.

Позволять$T$некоторое тензорное поле,$V$векторное поле, интуитивно:

• Ковариантная производная$\triangledown_V T$измеряет, насколько далеко тензор от параллельного переноса вдоль векторного поля$V$.

• производная лжи$\mathcal L _V T$измеряет, насколько тензор изменяется при однопараметрической группе преобразований, сгенерированных векторным полем$V$.

Параллельный транспорт — очень специфическое понятие , которое зависит от выбранного вами соединения. Фактически можно выбрать соединение, в котором параллельный перенос не имеет геометрической интерпретации как «геометрия, переносимая по кривой». В этом случае все, что измеряет ковариантная производная, это «насколько различны$T$из какого-то другого произвольного тензора$S$, куда$S$является тензором, который транспортируется параллельно.

С другой стороны, как вы хорошо знаете, производная Ли не имеет такой глупой зависимости от вашего соединения. По определению он измеряет изменение тензора вдоль интегральной кривой$V$, всегда.

Понятие производной требует понятия сравнения. В общем многообразии касательные векторы в разных точках принадлежат совершенно разным векторным пространствам (см. сноску 1), поэтому мы должны определить способ отображения одного касательного вектора в другое касательное пространство, которое мы по определению будем считать «инвариантным». образ" вектора в новом касательном пространстве, чтобы мы могли сравнитьего образ при других преобразованиях с этим инвариантным образом для целей вычисления «производной» посредством соответствующего процесса ограничения (см. сноску 2). Это не совсем похоже на элементарное — и зависящее от координат — понятие производной, поэтому мы делаем наше определение так, чтобы наша производная по своим алгебраическим свойствам была так же похожа на элементарную. Правило произведения Либница является главным среди них, и как производные Ли, так и ковариантные производные являются выводами алгебры гладких векторных полей на многообразии: они оба удовлетворяют правилу Лейбница (см. сноску 3), и оба являются определениями без координат.

Поэтому я думаю, что резюмирую ответ вам следующим образом: в том смысле, что существует более одного способа определения «инвариантного образа» касательного вектора для вычисления «производной», нет единого понятия « производная по направлению». Обе они являются производными по направлению.

Производная Ли - это производная векторного поля по потоку «эталонной» области,$\xi$в вашей нотации. Это похоже на то, как если бы геодезист-первопроходец заранее нанес на карту многообразие, заложив поле, которое мы используем для сравнения всех других полей. Все измеряется его отношением к$\xi$.

Я немного больше говорю о производных Ли на своем веб-сайте: обсуждение идет примерно на четверти этой страницы, около рисунка 11.1:

«Группы Ли как многообразия: обычное определение группы Ли 2»

Напротив, ковариантная производная не нуждается в поле «эталона». Все определяется в терминах метрики, которая в физике является «физической» вещью — она определяет, какие измерения длины будем производить мы, маленькие существа, живущие в многообразии. Это можно представить так: вложить многообразие в многомерное евклидово (или Минковское) пространство посредством изометрического вложения (по теореме Нэша это всегда можно сделать). Затем вычислите касательные векторы в старшей обычной производной. Ковариантная производная Леви-Чивиты (возможны и другие) некоторого вектора вдоль направления касательного вектора является компонентом «элементарной» производной по направлению (в многомерном пространстве вложения) вектора, который является тангенциальнымк коллектору. Мы отбрасываем нормальную составляющую, поскольку она возникает из-за изгиба самого многообразия, а не из-за «внутренней» вариации геометрического объекта, который мы пытаемся измерить.

Мы также можем абстрактно определить ковариантную производную без многомерного пространства как связь без метрики. Тогда есть два тензора, которые абстрактно определяются для измерения отклонения многообразия от его выполнения постулата параллельности Евклида, кривизны и кручения. Они оба ничтожны в окрестности тогда и только тогда, когда постулат параллельности Евклида выполняется во всей окрестности. На римановом многообразии, где можно определить метрику, можно показать, что существует определенная таким образом единственная связность, имеющая исчезающее кручение, и, таким образом, все неевклидово поведение закодировано в кривизне.

Сноски:

1. Подумайте о касательных плоскостях к двумерной сфере, вложенной в трехмерное евклидово пространство: две касательные плоскости, как правило, представляют собой совершенно разные векторные пространства.

2. Исторически сложилось так, что Эли Картан и геометры конца 19-го и начала 20-го веков сначала думали о касательных плоскостях, катящихся без проскальзывания по двумерному многообразию, чтобы сделать это отображение.

3. Если вы еще не изучали понятие деривации, сделайте это. Удивительно, как много элементарного дифференциального исчисления можно вывести из одного только правила произведения Лейбница.