Путаница с компонентами кругового движения

Question

Путаница с компонентами кругового движения

силы
Физика
векторы
центростремительная сила
ньютоновская механика

Риз222

Допустим, у нас есть частица, вращающаяся в $xy$ плоскость с центром в $(0,0)$ , с радиусом $r$ и постоянная скорость $v$ . Когда это в точку $(0,r)$ , горизонтальная составляющая скорости равна $v_x=v$ а вертикальная составляющая $v_y=0$ . При этом направление действия на нее суммарной силы, центростремительной силы, идет по отрицательной $y$ ось. Через бесконечно малое время вертикальная скорость возрастает в отрицательной $y$ направление на бесконечно малую величину, а горизонтальная составляющая уменьшается на бесконечно малую величину, так что результирующий вектор новых составляющих равен $v$ .

Теперь мой вопрос: вертикальная составляющая изменилась из-за центростремительной силы, которая была в этом направлении. Но поскольку в этот конкретный момент силы в горизонтальном направлении не было, что вызвало изменение этой составляющей?

Ответы (4)

Путаница с компонентами кругового движения

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

Ваш вопрос интересен тем, что показывает опасность работы с бесконечно малыми числами без тщательного контроля их значения.

В принципе, ваш вопрос применим к любому движению, когда траектория в фазовом пространстве достигает экстремума по одному из направлений. Итак, для простоты давайте обсудим простой одномерный гармонический осциллятор, который в вашем примере точно соответствует $x$ - составляющая равномерного кругового движения.

Уравнение движения

\ddot{Икс} (т) "=" - ю^{2} Икс (т),

$\ddot x(t) = - \omega^2x(t),$ действует в любое время

t

$t$ . Когда

x = 0

$x=0$ , ускорение равно нулю, а скорость вдоль

x

$x$ направление максимальное.

Итак, как же происходит снижение $\dot x$ ?

Наивное применение бесконечно малых величин вводит в заблуждение. В данном случае

\dot{Икс} (т + д т) ≃ \dot{Икс} (т) + \ddot{Икс} (т) д т

$\dot x(t+dt) \simeq \dot x(t) + \ddot x(t) dt$ подразумевал бы

\dot{x} (t + d t) = \dot{x} (t)

$\dot x(t+dt) = \dot x(t)$ . Но это только результат первого порядка . Приближения первого порядка являются ведущим членом локального анализа поведения регулярной функции при условии, что они не равны нулю. Когда, как и в случае экстремума скорости во времени

t_{0}

$t_0$ (поэтому

\ddot{x} (t_{0}) = 0

$\ddot x(t_0)=0$ ) вариация первого порядка равна нулю, необходимо искать следующий ненулевой член в разложении по степеням

d t

$dt$ . В данном случае:

\dot{Икс} (т_{0} + д т) "=" \dot{Икс} (т_{0}) + \ddot{Икс} (т_{0}) д т + \frac{1}{2} \overset{⃛}{Икс} (т_{0}) д т^{2} "=" \dot{Икс} (т_{0}) - \frac{1}{2} ю^{2} \dot{Икс} (т_{0}) д т^{2},

$\dot x(t_0+dt) = \dot x(t_0) + \ddot x(t_0) dt + \frac12 \dddot x(t_0) dt^2 = \dot x(t_0) - \frac12 \omega^2 \dot x(t_0) dt^2,$ где было использовано уравнение движения (взяв производную по времени от обеих сторон), чтобы выразить третью производную от

x

$x$ по времени как функция

\dot{x}

$\dot x$ .

Таким образом, можно видеть, что при доминирующем неисчезающем порядке в $dt$ , $\dot x$ правильно варьируется.

Примечание: такое приближение является одной из причин, по которой физика видеоигр иногда нереалистична. Потому что простая симуляция не будет рассчитывать никакого движения на этом временном шаге, и объект начнет двигаться только на следующем временном шаге. Подобные вещи могут привести к прецессии кругового движения и, возможно, к увеличению или уменьшению радиуса, если только объект специально не запрограммирован на движение по кругу.
@user253751 user253751 верно, но только если используется плохой численный алгоритм.
наивность должна быть наивной, или мне следует знать этот термин?
@Baldrickk Merriam-Webster дает naïf или naif как синонимы более часто встречающегося (на английском языке) naive ( merriam-webster.com/dictionary/naive#synonyms ), хотя во французском языке это просто мужской род (naif) или женский (наивный) варианты одного и того же прилагательного.
Я не думаю, что этот ответ работает в целом, если ваш путь следует плоской функции, например $e^{-1/x^2}$ это терпит неудачу.
@ToddSewell Конечно, существует неявное предположение: уравнение движения соответствует правильно поставленной задаче. Что касается исходного вопроса и многих других проблем. Приведенный вами пример (и другие подобные) — это патологический случай, когда не выполняется теорема существования и единственности (уравнение движения, соответствующее траектории, пропорциональной $e^{-\frac{1}{t^2}}$ будет соответствовать нелипшицевому силовому закону).
@GiorgioP Это удивительно, мне интуитивно кажется, что $e^{−1/x^2}$ было бы физически реализуемым движением, не так ли? Мне не очень везет, когда я смотрю, что такое нелипшицева сила , связана ли она с непрерывностью Липшица?
@ToddSewell Конечно, сила предназначена для функции, которая математически кодирует силу . В такой игре интуиция не поможет, если только у человека не развито прекрасное математическое чутье. Однако даже с физической точки зрения ваш пример будет соответствовать случаю точки на вершине очень плоского максимума потенциала, так что если при $t=0$ точка покоится, либо останется там навсегда $x(t)=0$ , или он будет двигаться в соответствии с предложенной вами эволюцией. Оба решения допустимы. Я думаю, вы согласитесь, что это патологический случай.

Биофизик · Answer 2

Я собираюсь использовать несколько иной подход по сравнению с другими ответами, хотя на самом деле все мы говорим одно и то же. Проблема в том, что вы считаете «следующий момент» конечным. Следовательно, в следующий конечный момент горизонтальная скорость вообще не изменится , и только на следующем конечном шаге после первого горизонтальная скорость изменится.

В частности, вы, по сути, думаете о решении своих дифференциальных уравнений.

\frac{д р}{д т} "=" в

$\frac{\text d\mathbf r}{\text dt}=\mathbf v$

м \frac{д в}{д т} "=" Ф

$m\frac{\text d\mathbf v}{\text dt}=\mathbf F$

используя приближение

Δ р "=" в Δ т

$\Delta \mathbf r=\mathbf v\Delta t$

м Δ в "=" Ф Δ т

$m\Delta \mathbf v=\mathbf F\Delta t$

для конечных $\Delta t$ . Таким образом, если ваши начальные условия

р (0) "=" (0, р)

$\mathbf r(0)=(0,R)$

в (0) "=" (в, 0)

$\mathbf v(0)=(v,0)$ и если ваша сила дается

Ф (т) "=" (- Ф грех (ю т), - Ф потому что (ю т))

$\mathbf F(t)=(-F\sin(\omega t),-F\cos(\omega t))$

тогда ваш первый шаг даст вам

р (Δ т) "=" р (0) + Δ р "=" (0, р) + (в, 0) Δ т "=" (в Δ т, р)

$\mathbf r(\Delta t)=\mathbf r(0)+\Delta \mathbf r=(0,R)+(v,0)\Delta t=(v\Delta t,R)$

в (Δ т) "=" в (0) + Δ в "=" (в, 0) + (0, - Ф / м) Δ т "=" (в, - Ф / м \cdot Δ т)

$\mathbf v(\Delta t)=\mathbf v(0)+\Delta \mathbf v=(v,0)+(0,-F/m)\Delta t=(v,-F/m\cdot\Delta t)$

Это то, о чем вы подумали... Горизонтальная скорость не меняется, и поскольку объект двигался только горизонтально, он также не двигался вниз. Как только вы снова примените это приближение, вы увидите, что объект начнет двигаться вниз, а горизонтальная скорость изменится. Это показано на анимации ниже для довольно большого $\Delta t$ где я сделал паузу после первого шага, чтобы показать чисто горизонтальное движение.

Как только вы сделаете $\Delta t$ все меньше и меньше, вы увидите, что мы получаем траекторию, больше похожую на равномерное круговое движение.

Но вы никогда не сможете избежать того, что в следующее мгновение горизонтальная скорость не изменится на конечное время. $\Delta t$ . Это потому, что в непрерывном пределе действительно нет «следующего момента», т. е. вы не можете выбрать «следующее действительное число» после $0$ .

Не_Эйнштейн · Answer 3

Люди дали подробные ответы выше. Я просто предложу более интуитивный способ думать об этом. Вы правы в том, что в рассматриваемый момент на объект не действует горизонтальная сила. Таким образом, это говорит нам о том, что его горизонтальная скорость не находится под каким-либо влиянием изменения в этот момент. Следовательно, объект продолжает движение с этой скоростью, но как только он покидает рассматриваемую точку, на объект действует горизонтальная составляющая силы, поэтому его скорость изменяется.

Сверхбыстрая медуза · Answer 4

Это действительно необычно! Но есть разрешение. Она заключается в понимании пределов.

Скажи в $t=0$ Вы находитесь в $\left(0,r\right)$ где сила чисто вдоль $-\hat{y}$ . Тогда в любой произвольный момент $dt$ сила уже не чисто вдоль $-\hat{y}$ . Это как сказать в $t=0$ нет силы $\hat{x}$ но в самое следующее мгновение есть. Но это утверждение бессмысленно. Это все равно, что спросить, какое реальное число стоит рядом с $0$ .

Таким образом, движение чисто вдоль $x$ только точно $t=0$ и имеет компоненты вдоль $y$ для $t\ne0$ .

Путаница с компонентами кругового движения

Риз222

Ответы (4)

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

пользователь 253751

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Балдрикк

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Тодд Сьюэлл

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Тодд Сьюэлл

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Биофизик

Биофизик

Не_Эйнштейн

Сверхбыстрая медуза

Уточнение векторов под углами 90 и 270 градусов от вертикали для движения по вертикальному кругу

При расчете центростремительной силы игнорируем ли мы нерадиальные или тангенциальные силы?

Банковская дорога

Когда человек тянет или толкает тележку, почему его телу выгодно наклоняться вперед?

Центростремительная сила и изменение тангенциальной скорости

Где действует псевдосила?

Почему сила складывается как вектор?

В каком направлении действует трение при круговом движении?

Какая польза от векторов для сил? [дубликат]

Лить воду в самолет вверх ногами?