Где действует псевдосила?

Подобно гравитации, псевдосилы действуют во всех точках тела. В механике, когда мы говорим, что распределенная сила «действует» в одной точке, мы имеем в виду, что выполнение такой замены не меняет момент, действующий на тело в целом. Возможно ли это, зависит от псевдосилы.

• В равномерно ускоряющейся системе отсчета можно принять, что псевдосила действует в центре масс тела с силой$M \mathbf{a}$.
• В равномерно вращающейся системе отсчета можно принять, что центробежная псевдосила действует в центре масс тела с силой$M \omega^2 \mathbf{r}_{\mathrm{cm}}$.
• Сила Кориолиса, как правило, не может трактоваться таким образом. Например, бывают ситуации, когда полная сила Кориолиса обращается в нуль, а общий момент Кориолиса — нет.

Псевдосилы определяются ускорением системы отсчета и вообще действуют во всех точках пространства. Для линейно ускоряющейся системы отсчета результирующая псевдосила однородна. Для вращающейся системы отсчета сила зависит от таких вещей, как расстояние от оси вращения, скорость вращения. Сила Кориолиса, действующая на точечную частицу, также зависит от скорости частицы относительно вращающейся системы отсчета, но этот эффект все же существует во всех точках вращающейся системы отсчета.

Если вы хотите «сконденсировать» эти силы в отдельные точки и моменты для протяженного объекта, вам просто нужно найти средневзвешенное значение этих величин, как и для любой другой распределенной нагрузки. Обратите внимание, что вам нужно сделать это отдельно для сил и крутящих моментов; вообще неверно, что средневзвешенное значение крутящих моментов равно крутящему моменту средневзвешенного значения сил.

В линейно ускоренной системе отсчета одна и та же псевдосила действует равномерно (в любой момент времени) на все частицы протяженного тела. Этот набор псевдосил можно заменить одной силой, действующей в центре масс тела.

Во вращающейся системе отсчета псевдосилы не будут однородными, поэтому вы должны определить псевдосилу, действующую на каждую частицу в отдельности, а затем интегрировать по всему телу в целом.

Не случайно это соответствует анализу движения протяженного тела в однородном или неоднородном поле тяготения.

Краткое содержание

Рассмотрим систему частиц, не обязательно твердое тело, в инерциальной системе отсчета. Поступательное движение (изменение полного линейного количества движения) можно оценить, предполагая, что полная масса представляет собой частицу, находящуюся в центре масс (ЦМ), на которую действует полная внешняя сила. Вращательное движение (изменение углового момента) нельзя оценить, предполагая, что на ЦМ действует полная внешняя сила.

При рассмотрении в неинерциальной системе отсчета вышеуказанные выводы применимы, но в дополнение к внешним силам необходимо учитывать фиктивные силы. Поступательное движение (изменение полного линейного количества движения) можно оценить, предполагая, что полная масса представляет собой частицу, находящуюся в центре масс (ЦМ), на которую действует общая внешняя сила плюс полная фиктивная сила. Вращательное движение (изменение углового момента) нельзя оценить, предполагая, что на ЦМ действует полная внешняя сила полной фиктивной силы.

Вот простой пример. Предположим, что жесткий стержень опирается на шарнир в своей ЦМ и на него действует сила$F$, вниз на расстояниях$d$справа от КМ. СМ неподвижен. В инерциальной системе отсчета эта сила производит вращательное движение вокруг ЦМ. Теперь рассмотрим движение в неинерциальной вращающейся системе отсчета, в которой стержень покоится. В этом кадре фиктивные силы противостоят$F$усилие, удерживающее стержень в покое. Если предположить, что фиктивные силы действуют на ЦМ, они не могут удерживать стержень в неподвижном состоянии в неинерциальной системе отсчета. Можно предположить, что на ЦМ действуют определенные силы. Можно предположить, что на ЦМ действуют сила тяжести и фиктивная сила, возникающая из-за поступательного ускорения. Рассмотрим жесткий стержень, свободно падающий под действием гравитации, являющейся единственной приложенной внешней силой. В инерциальной системе отсчета стержень падает, но не вращается вокруг своей ЦМ, так как можно предположить, что на ЦМ действует сила тяжести. В неинерциальной системе отсчета, в которой стержень находится в состоянии покоя, на ЦМ действует фиктивная сила, удерживающая стержень в неподвижном состоянии, и вращение вокруг ЦМ отсутствует.

Далее следует более подробное обсуждение поступательного и вращательного движения.

Поступательное и вращательное движение в инерциальной системе отсчета.

Рассмотрим систему частиц, не обязательно твердое тело. См. рисунки 1 и 2.

В инерциальной системе поступательное движение можно оценить, предполагая, что вся масса находится в центре масс (ЦМ). Полный линейный импульс$\vec P = ∑_{i=1}^{k} m_i\vec v_i = M \vec V$где$m_i$масса каждой частицы со скоростью$\vec v_i$,$M = ∑_{i=1}^{k}m_i$это общая масса, а$\vec V$- скорость ЦМ.$M \vec A = \vec F_{tot}{^{ext} }$где$\vec A$- ускорение ЦМ и полная внешняя сила$\vec F_{tot}{^{ext}} = ∑_{i=1}^{k}\enspace \vec F_i^{\,ext}$представляет собой сумму чистой внешней силы, действующей на каждую частицу.

Вращательное движение вокруг точки нельзя рассматривать, если предположить, что вся масса находится в ЦМ; вращательное движение зависит от конкретных мест на теле, к которым приложены внешние силы. Полный угловой момент относительно точки$Q$является$\vec L_Q = ∑_{i=1}^{k}\enspace \vec r_{iQ} \times m_i \vec v_i$, где$\vec r_{iQ}$это позиция$i$в отношении$Q$. Изменение углового момента системы относительно точки$Q$является${d \vec L_Q \over dt} = \vec N_Q^{\,ext} - \vec v_Q \times \vec P$где$\vec v_Q$это скорость$Q$и$\vec N_Q^{\,ext} = ∑_{i=1}^{k}\enspace \vec r_{IQ} \times \vec F_i^{\,ext}$- полный крутящий момент от внешних сил. [Кохманн] Если$Q$выбирается в качестве КМ,$\vec v_Q \times \vec P$срок нулевой. Только для определенных сил, таких как сила тяжести, можно предположить, что силы действуют на ЦМ для оценки вращательного движения.

Как будет показано далее, аналогичные выводы справедливы и для неинерциальной системы, если также учитывать фиктивные силы. поступательное движение можно оценить, если предположить, что вся масса находится в центре масс (ЦМ). Вращательное движение зависит от конкретных мест на теле, к которым приложены внешние силы.

Поступательное и вращательное движение в неинерциальной системе отсчета

Для системы частиц движение центра масс в неинерциальной системе отсчета обусловлено суммарной внешней силой в инерциальной системе плюс следующие фиктивные силы: центробежная сила, сила Кориолиса, сила Эйлера и сила от поступательное ускорение неинерциальной системы отсчета.
Рассмотрим систему$k$частицы с точки зрения как инерциальной, так и неинерциальной системы отсчета с соответствующими началами в точках O и O*. O неподвижен, а O * находится в ускорении относительно O, а декартовы оси O * вращаются относительно осей O. CM обозначает положение центра масс частиц. Как выведено из учебников физики механики, для одиночной частицы в системе частиц [Саймон]$(1) \enspace m{d^{*2} \vec r^{\, *} \over dt^2} = m( {d^{2}\vec r \over dt^2 }- \vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r^{\,*} )- 2\vec \omega \times {d^*\vec r^{\,*}\over dt}- {d \vec\omega \over dt}\times \vec r^{\,*} - {d^2\vec h \over dt^2 })$

$(2)\enspace m{d^{*2}\vec r^{\,*}\over dt^2 }$есть ускорение частицы в неинерциальной системе отсчета.

$(3)\enspace m {d^{2} \vec r \over dt^2} = \enspace \vec F^{\,ext} + \vec F^{\,int}$Ускорение частицы в инерциальной системе отсчета,
где$\vec F^{\,ext}$- чистая внешняя сила, действующая на частицу, и$\vec F^{\,int}$- чистая внутренняя сила, действующая на частицу со стороны других частиц.

$(4)\enspace - m\vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r^{\,*})$– центробежная сила, действующая на частицу в системе О*.

$(5)\enspace- 2mω \times {d^*\vec r^{\,*}\over dt}$— сила Кориолиса, действующая на частицу в системе О*.

$(6)\enspace -m {d \omega\over dt}×\vec r^{\,*}$Сила Эйлера, действующая на частицу в системе О*.

$(7)\enspace -m{d^2\vec h \over dt^2}$— фиктивная сила от поступательного ускорения O* относительно O.

Суммируя общие частицы в системе с помощью уравнения. 1, у нас есть

$(8)\enspace ∑_{i=1}^{k} m_i{d^{*2} \vec r_i^{\,*} \over dt^2} = ∑_{i=1}^{k} m_i( {d^{2} \vec r_i \over dt^2} - \vec ω×(\vec ω×\vec r_i^{\,*}) - 2\vec ω×{d^* \vec r_i^{\,*} \over dt} - {d \vec ω\over dt} ×\vec r_i^{\,*} - {d^2 \vec h \over dt^2})$

$(9)\enspace ∑_{i=1}^{k} m_i {d^{2} r_i \over dt^2}=\sum_{i=1}^{k}\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,int} = \sum_{i=1}^{k}\vec F_i^{\,ext}$так как полная внутренняя сила равна нулю на основании третьего закона Ньютона. См. рис. 2. Обратите внимание, что расстояние от ЦМ до частицы$i$является$\vec r_{iCM}$в кадрах O и O*. Для твердого тела величина$\vec r_{iCM}$постоянна в инерциальной (и неинерциальной) системе отсчета.

$(10)\enspace \vec r_i^* = \vec R^* + \vec r_{iCM}$где$\vec r_i^*$это местонахождение частицы$i$в системе O* относительно O*,$\vec R^*$— положение КМ в кадре O*, а$\vec r_{iCM}$это местонахождение частицы$i$по отношению к КМ. Поэтому,

$(11) ∑_{i=1}^{k}\enspace m_i\vec r_i^* = ∑_{i=1}^{k}m_i\vec R^* + ∑_{i=1}^{k}m_i\vec r_{iCM}$.

По определению КМ

$(12)\enspace ∑_{i=1}^{k} m_i \vec r_i = MR$где$M= \sum_{i=1}^{k} m_i$это общая масса.

Используя рис. 1,

$(13)\enspace MR = \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_i =\sum_{i=1}^{k} m_i (\vec R + \vec r_{iCM}) = MR + \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_{iCM}$, поэтому

$(14)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_{iCM} = 0$и уравнение (11) сводится к

$(15)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec r_i^* = M\vec R^*$где$\vec R^*$— положение КМ в кадре O*.

Используя уравнение (15),

$(16)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec v_i^* = M\vec V^*$и

$(17)\enspace \sum_{i=1}^{k} m_i \vec a_i^* = M\vec A^*$Где V* и A* — соответственно скорость и ускорение ЦМ в системе O*.

Используя уравнения. (9), (15), (16) и (17) в формуле. (8), имеем

$(18)\enspace M\vec A_{CM}^{\,*} = \vec F_{total}^{\,ext} -M\vec \omega \times(\vec \omega \times \vec R_{CM}^{\,*}) - 2M\vec \omega \times \vec V_{CM}^{\,*} - M{d\vec \omega \over dt} \times \vec R_{CM}^{\,*} - M\vec a_O^{\,*}$где$\vec F_{total}^{\,ext} = \sum_{i=1}^{k}\vec F_i^{\,ext}$и$\vec a_O^* = {d^2 \vec h \over dt^2}$есть ускорение O* относительно O.

Левая часть уравнения. (18) – полная сила, действующая на ЦМ в неинерциальной системе О*. Первый член в правой части представляет собой полную внешнюю силу в инерциальной системе отсчета. Второй, третий и четвертый члены в правой части представляют собой соответственно: полную центробежную силу, полную силу Кориолиса и полную силу Эйлера. Последний член в правой части — это фиктивная сила, возникающая из-за поступательного ускорения O*. Соотношение (18) также приведено в ссылке. [Кохманн]

Обратите внимание, что суммарные центробежные силы, силы Кориолиса и Эйлера могут быть выражены через общую массу, положение и движение ЦМ в уравнении. (18), а полную фиктивную силу от поступательного ускорения O* можно считать действующей на ЦМ.

Теперь рассмотрим вращательное движение в неинерциальной системе отсчета. См. рис. 3.

По отношению к Q в неинерциальной системе отсчета полный угловой момент равен

$$(19) \enspace\vec L_{Q}^{\,*} = \sum_{i=1}^{k}m_i\vec r_{iQ}^{\,*} \times \dot {\vec r}_i^*$$ С использованием$\vec r_{iQ}^{\,*} = r_i^{\,*} - R_Q^{\,*}$, производная от полного углового момента равна${d\vec L_{Q}^{\,*} \over dt } = \sum_{i=1}^{k}m_i \vec r_{iQ}^{^\,*} \times \vec a_i^{\,*} + \sum_{i=1}^{k}m_i \dot {\vec r_{i}}^{*} \times \dot {\vec r_{i}}^{\,*} - \dot {\vec R_{Q}}^{*} \times \sum_{i=1}^{k}m_i \dot {\vec r_{i}}^{*}$где$\vec a_i^{\,*}$это ускорение частицы$i$в неинерциальной системе отсчета. Второй член в правой части равен нулю.

$M \vec R_{CM}^* = \sum_{i=1}^{k}m_i r_i^*$где$\vec R_{CM}^*$– положение ЦМ в неинерциальной системе отсчета.$\vec P^* = \sum_{i=1}^{k}m_i\vec v_i^{\,*} = M\vec V^*$- полный линейный импульс в неинерциальной системе отсчета, где$\vec V_{CM}^*$- скорость ЦМ в неинерциальной системе отсчета.$\dot {\vec R_{Q}}^{*} = \vec v_Q^{\,*}$.

Поэтому,

$$(20) \enspace{d \vec L_{Q}^{\,*} \over dt } = \sum_{i=1}^{k}m_i (\vec r_{iQ}^{^\,*} \times \vec a_{i}^{\,*}) - \vec v_{Q}^{\,*} \times \vec P^*$$ Используя уравнение (1) для$m_i\vec a_i^*$у нас есть

$$(21) \enspace{d \vec L_{Q}^{\,*} \over dt } = \sum_{i=1}^{k}\vec r_{iQ}^{\,*} \times (\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,cent} + \vec F_i^{\,corio} + \vec F_i^{\,Euler} + \vec F_i^{\,trans})$$

$\vec F_i^{\,ext}$полная внешняя сила, действующая на частицу$i$.

$\vec F_i^{\,cent} = - m_i\vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r_i^{\,*})$- центробежная сила, действующая на частицу в системе О*.

$\vec F_i^{\,corio} = - 2m_i \vec \omega \times {d^*\vec r_i^{\,*}\over dt}$— сила Кориолиса, действующая на частицу в системе О*.

$\vec F_i^{\,Euler} = - m_i {d \vec \omega\over dt}×\vec r_i^{\,*}$– сила Эйлера, действующая на частицу в системе О*.

$\vec F_i^{\,trans} = -m_i{d^2\vec h \over dt^2}$— фиктивная сила от поступательного ускорения O*.

Крутящий момент относительно$Q$от полной фиктивной силы за счет поступательного ускорения$O^*$является$\sum_{i=1}^{k}\vec r_{iQ}^{\,*} \times (-m_i{d^2\vec h \over dt^2}) = \sum_{i=1}^{k}m_i(\vec r_i^* - \vec R_Q^*) \times (-{d^2\vec h \over dt^2}) = (\vec R_Q^* - \vec R_{CM}^{\,*}) \times M{d^2\vec h \over dt^2}$. Следовательно, полная фиктивная сила, обусловленная поступательным ускорением$O^*$можно считать действующим на КМ.

Момент от других фиктивных сил нельзя считать эквивалентным силам, действующим на ЦМ. Это также обсуждается в ссылке. [Диаз]

Если$Q$выбран в качестве ЦМ, крутящий момент от фиктивной силы из-за поступательного ускорения равен нулю и

$$(22) \enspace {d\vec L_{CM}^{\,*} \over dt }= \sum_{i=1}^{k}\vec r_{iCM}^{\,*} \times (\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,cent} + \vec F_i^{\,corio} + \vec F_i^{\,Euler})$$

Для твердого тела с$O^*$выбранной в качестве точки внутри тела, сила Кориолиса равна нулю. и

$$(23) \enspace {d{\vec L_{CM\,rigid}^{\,*}} \over dt} = \sum_{i=1}^{k}\vec r_{iCM}^{\,*} \times (\vec F_i^{\,ext} + \vec F_i^{\,cent} + \vec F_i^{\,Euler})$$ Член Эйлера равен нулю для постоянной$\vec \omega$.

Следующее касается возможной области путаницы. Момент количества движения вращающегося твердого тела по отношению к его ЦМ в неинерциальной вращающейся системе отсчета - системе отсчета тела, в которой тело покоится,$\vec L_{CM}^*$равен нулю, так как$\vec v_i^*$равен нулю для каждой частицы$i$. Угловой момент в невращающейся пространственной системе отсчета, назовем его$\vec H_{CM}$по отношению к КМ не равно нулю.$\vec L_{CM}^*$и$\vec H_{CM}$это не одни и те же векторы.

Что касается КМ,$\vec H_B = {\bf I}\vec \omega$где${\bf I}\vec \omega$– момент инерции в инерциальной системе отсчета, а$\vec \omega$– угловая скорость вращения тела в инерциальной системе отсчета.${d\vec H_{CM} \over dt} = \vec N_{CM}$где$\vec N_{CM}$- чистый крутящий момент по отношению к ЦМ от внешних сил в инерциальной системе отсчета. [Кохманн]

Для любого (свободного) вектора$\vec G$

$$\enspace (24) {d \vec G \over dt}|_{space} = {d \vec G \over dt}|_{body} + \vec \omega \times \vec G$$ [Гольдштейн]${d \vec G \over dt}|_{space}$является производной от$\vec G$выражается в пространственных координатах.${d \vec G \over dt}|_{body}$является производной от$\vec G$выражается в координатах тела. См. мой ответ на производные векторов во вращающихся системах отсчета на этом обмене для подробного обсуждения отношения (24).

Используя соотношение (24) для твердого тела, производная по времени углового момента пространственной системы отсчета относительно ЦМ может быть выражена как

$$(25) \vec N_{CM}= \bf I_{body} \dot {\vec \omega} + \omega \times {\bf I_{body}}\vec \omega$$ где${\bf I_{body}}$– постоянный тензор инерции в системе отсчета тела. [Кохманн]

Первый член в правой части соотношения (25) не является производной по времени от углового момента в неинерциальной системе отсчета тела, когда тело покоится; это производная по времени углового момента пространственной системы отсчета, выраженная с использованием координат системы отсчета тела. Производная момента импульса по времени в неинерциальной системе отсчета тела, в которой тело покоится, равна нулю.

Рекомендации

[Гольдштейн] Гольдштейн, Классическая механика

[Кохманн] https://ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/mavt/mechanical-systems/mm-dam/documents/Notes/Dynamics_LectureNotes.pdf .

[Саймон] Саймон, Механика

[Диаз] О преобразовании крутящих моментов между лабораторной системой отсчета и системой отсчета центра масс (researchgate.net)