Радиальные движения момент инерции

Question

Радиальные движения момент инерции

Физика
момент инерции
классическая механика
ньютоновская механика
динамика твердого тела

Чам

Я ищу некоторые ссылки на конкретный момент инерции для радиальных движений сферического тела . В моих расчетах я получил такой интеграл:

\begin{matrix} (1) & \bar{я} "=" \int р^{2} г м "=" \int_{В} р (р) р^{2} г^{3} Икс, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{1} \bar{I} = \int r^2 \, dm = \int_{\mathcal{V}} \rho(r) \, r^2 \, d^3 x, \end{equation}$ где

ρ

$\rho$ плотность вещества и

r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ определяет обычную радиальную координату (начало координат находится в центре сферического тела). Для равномерного распределения массы этот интеграл легко сделать:

\begin{matrix} (2) & \bar{я} "=" \frac{3}{5} М р^{2} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{2} \bar{I} = \frac{3}{5} \; M R^2. \end{equation}$ Пожалуйста, не путайте это с хорошо известным моментом инерции сферы вокруг некоторой оси вращения . Речь идет о радиальных движениях, а не о вращении.

Ни в одной книге по механике я такого не встречал.

Обратите внимание, что выражение (1) выше также является половиной следа тензора инерции:

\begin{matrix} (3) & я_{я Дж} "=" \int_{В} (р^{2} {дельта}_{я Дж} - {Икс}_{я} {Икс}_{Дж}) р г^{3} Икс, \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{3} I_{ij} = \int_{\mathcal{V}} (r^2 \, \delta_{ij} - x_i \, x_j) \, \rho \; d^3 x, \end{equation}$ Тогда у нас есть это:

\begin{matrix} (4) & \bar{я} \equiv \frac{1}{2} я_{к к} . \end{matrix}

$\begin{equation}\tag{4} \bar{I} \equiv \frac{1}{2} \; I_{kk}. \end{equation}$

Я не уверен, что «радиальный момент инерции», определяемый (1) (если он имеет правильную интерпретацию), получает правильный коэффициент.

Любые мысли по этому поводу?

Мартин Юдинг

Разве «радиальное движение» — это не просто движение центра масс, а «момент инерции» — это просто масса?

M

$M$ той сферы?

Чам

@MartinUeding, я не уверен. Представьте однородную сферу в центре вашей исходной системы. Придайте ему радиальное движение (сжатие, расширение, колебания), не нарушая сферической симметрии. Я думаю, что интеграл (1) измеряет его инерцию для таких радиальных движений.

Сэмми Песчанка

Как вы думаете, какой физический смысл имеет физическая величина в уравнениях (1) или (2)? Можете ли вы написать уравнение, которое его использует? например что-то похожее на

L = I ω

$L = I\omega$ относительно углового момента и угловой скорости. Или, может быть, это тот вопрос, на который вы просите нас ответить? То, что вы можете написать математическое определение, не означает, что оно имеет какое-либо физическое значение.

Чам

@sammygerbil, это связано с энергией и радиальными колебаниями сферы:

\bar{я} \frac{г^{2} дельта р}{г т^{2}} "=" (3 γ - 4) U дельта р,

$\begin{equation} \bar{I} \; \frac{d^2 \delta R}{d t^2} = (3 \gamma - 4) \, U \, \delta R,\end{equation}$ где

γ

$\gamma$ - показатель адиабаты материала и

U

$U$ - потенциальная энергия шара.

\bar{I}

$\bar{I}$ это «радиальный момент инерции», который я определил выше.

R

$R$ - радиус всей сферы, а

δ R = R - R_{0}

$\delta R = R - R_0$ – его вариация (относительно равновесного значения

R_{0}

$R_0$ ), меняющиеся во времени под действием силы тяжести и внутреннего давления.

пользователь121330

Что вы подразумеваете под радиальным движением? Перевод и вращение полностью описывают движение одного объекта, если только вы не исследуете деформацию объекта, которая представляет собой целый мешок червей. Если у нас есть второй объект, то их движения могут быть описаны, например, относительным движением тел, их вращением и движением системы. Сколько тел и в каком направлении они могут двигаться?

Чам

@ user121330, радиальные движения сферы! Представьте себе пульсирующую сферу (расширяющуюся и/или сжимающуюся).

эксмашина

Я думаю, что немного больше контекста может быть полезным. Вы имеете в виду равномерно пульсирующую сферу, как в пульсирующей звезде (не твердое тело), верно? В этом случае скорость точки равна

v_{i} = \dot{ϵ} x_{i}

$v_i=\dot\epsilon x_i$ , а кинетическая энергия в объеме

d V

$dV$ является

ρ v^{2} d V / 2

$\rho v^2 dV/2$ где

d \bar{I} = ρ v^{2} d V

$d\bar I=\rho v^2 dV$ это ваш "пульсирующий момент инерции" элемента, где

v^{2} = {\dot{ϵ}}^{2} x_{i}^{2}

$v^2=\dot\epsilon^2 x_i^2$ . Если вы хотите сравнить это с вращениями, помните, что

\vec{v} = \vec{ω} \times \vec{r}

$\vec v=\vec\omega\times\vec r$ , и вы можете расширить это как

ρ v^{2} d V = I_{i j} x_{i} x_{j}

$\rho v^2 dV=I_{ij}x_i x_j$ . Выводы аналогичны; вы могли бы ожидать некоторую связь между

\bar{I}

$\bar I$ и я.

Чам

@exmachina, ваш расчет похож на мой. Итак, вы получили то же уравнение, что и в моем комментарии выше? Эта пульсирующая сфера должна быть где-то выставлена. Любые ссылки для этого?

пользователь121330

Итак, вы смотрите на объект, который деформируется... Что вы пытаетесь определить - движение частицы в среде? Объем (/радиус/площадь поверхности) сферы как функция времени?

Чам

@ user121330, радиус сферы как функция времени. У меня уже есть дифференциальное уравнение (приведенное в сообщении выше). Меня просто интересовал этот «радиальный момент инерции».

эксмашина

@Cham Адекватный поиск в Google должен дать вам что-то. См., например, ур. (6) в с. 139 здесь: adsabs.harvard.edu/full/1954AJ.....59..137H , где автор дает

\frac{3}{5} M R^{2}

$\frac 35 MR^2$ выражение для сферического тела. Это связано со следом матрицы инерции вращения из-за того, что оба связаны с квадратами / произведениями координат и

r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

$r^2=x^2+y^2+z^2$ является единственной скалярной комбинацией из них. Однако я и

\bar{I}

$\bar I$ имеют совершенно разный физический смысл.

Чам

@exmachina, тогда именно в этом смысл моего вопроса! В чем физический смысл

\bar{I}

$\bar{I}$ ? (который я назвал «радиальным моментом инерции», поскольку он связан со следом тензора инерции).

Чам

@exmachina, обратите внимание, что уравнение (13) в статье, на которую вы ссылаетесь, похоже (но не идентично) уравнению в моем втором сообщении выше. Мое уравнение более общее, так как речь идет о политропическом сферическом облаке газа (то есть о звезде) с показателем адиабаты.

γ

$\gamma$ . Мое уравнение показывает, что звезда состоит из релятивистского газа;

γ = \frac{4}{3}

$\gamma = \frac{4}{3}$ , неустойчив. Если

γ < \frac{4}{3}

$\gamma < \frac{4}{3}$ , звезда схлопнется или взорвется (поскольку

U < 0

$U < 0$ ).

Джон Алексиу

Как может быть момент инерции без всякого вращения? Нет вращения => Нет углового момента => Нет MMOI. Вам нужно предоставить больше контекста в вопросе или добавить несколько ссылок, где это

I

$I$ используется.

Ответы (2)

Радиальные движения момент инерции

Разве «радиальное движение» — это не просто движение центра масс, а «момент инерции» — это просто масса? $M$ той сферы?
@MartinUeding, я не уверен. Представьте однородную сферу в центре вашей исходной системы. Придайте ему радиальное движение (сжатие, расширение, колебания), не нарушая сферической симметрии. Я думаю, что интеграл (1) измеряет его инерцию для таких радиальных движений.
Как вы думаете, какой физический смысл имеет физическая величина в уравнениях (1) или (2)? Можете ли вы написать уравнение, которое его использует? например что-то похожее на $L = I\omega$ относительно углового момента и угловой скорости. Или, может быть, это тот вопрос, на который вы просите нас ответить? То, что вы можете написать математическое определение, не означает, что оно имеет какое-либо физическое значение.
@sammygerbil, это связано с энергией и радиальными колебаниями сферы: $\bar{я} \frac{г^{2} дельта р}{г т^{2}} "=" (3 γ - 4) U дельта р,$ $\begin{equation} \bar{I} \; \frac{d^2 \delta R}{d t^2} = (3 \gamma - 4) \, U \, \delta R,\end{equation}$ где $\gamma$ - показатель адиабаты материала и $U$ - потенциальная энергия шара. $\bar{I}$ это «радиальный момент инерции», который я определил выше. $R$ - радиус всей сферы, а $\delta R = R - R_0$ – его вариация (относительно равновесного значения $R_0$ ), меняющиеся во времени под действием силы тяжести и внутреннего давления.
Что вы подразумеваете под радиальным движением? Перевод и вращение полностью описывают движение одного объекта, если только вы не исследуете деформацию объекта, которая представляет собой целый мешок червей. Если у нас есть второй объект, то их движения могут быть описаны, например, относительным движением тел, их вращением и движением системы. Сколько тел и в каком направлении они могут двигаться?
@ user121330, радиальные движения сферы! Представьте себе пульсирующую сферу (расширяющуюся и/или сжимающуюся).
Я думаю, что немного больше контекста может быть полезным. Вы имеете в виду равномерно пульсирующую сферу, как в пульсирующей звезде (не твердое тело), верно? В этом случае скорость точки равна $v_i=\dot\epsilon x_i$ , а кинетическая энергия в объеме $dV$ является $\rho v^2 dV/2$ где $d\bar I=\rho v^2 dV$ это ваш "пульсирующий момент инерции" элемента, где $v^2=\dot\epsilon^2 x_i^2$ . Если вы хотите сравнить это с вращениями, помните, что $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ , и вы можете расширить это как $\rho v^2 dV=I_{ij}x_i x_j$ . Выводы аналогичны; вы могли бы ожидать некоторую связь между $\bar I$ и я.
@exmachina, ваш расчет похож на мой. Итак, вы получили то же уравнение, что и в моем комментарии выше? Эта пульсирующая сфера должна быть где-то выставлена. Любые ссылки для этого?
Итак, вы смотрите на объект, который деформируется... Что вы пытаетесь определить - движение частицы в среде? Объем (/радиус/площадь поверхности) сферы как функция времени?
@ user121330, радиус сферы как функция времени. У меня уже есть дифференциальное уравнение (приведенное в сообщении выше). Меня просто интересовал этот «радиальный момент инерции».
@Cham Адекватный поиск в Google должен дать вам что-то. См., например, ур. (6) в с. 139 здесь: adsabs.harvard.edu/full/1954AJ.....59..137H , где автор дает $\frac 35 MR^2$ выражение для сферического тела. Это связано со следом матрицы инерции вращения из-за того, что оба связаны с квадратами / произведениями координат и $r^2=x^2+y^2+z^2$ является единственной скалярной комбинацией из них. Однако я и $\bar I$ имеют совершенно разный физический смысл.
@exmachina, тогда именно в этом смысл моего вопроса! В чем физический смысл $\bar{I}$ ? (который я назвал «радиальным моментом инерции», поскольку он связан со следом тензора инерции).
@exmachina, обратите внимание, что уравнение (13) в статье, на которую вы ссылаетесь, похоже (но не идентично) уравнению в моем втором сообщении выше. Мое уравнение более общее, так как речь идет о политропическом сферическом облаке газа (то есть о звезде) с показателем адиабаты. $\gamma$ . Мое уравнение показывает, что звезда состоит из релятивистского газа; $\gamma = \frac{4}{3}$ , неустойчив. Если $\gamma < \frac{4}{3}$ , звезда схлопнется или взорвется (поскольку $U < 0$ ).
Как может быть момент инерции без всякого вращения? Нет вращения => Нет углового момента => Нет MMOI. Вам нужно предоставить больше контекста в вопросе или добавить несколько ссылок, где это $I$ используется.

Джон Алексиу · Answer 1

Конечно, это половина следа. Учитывая, что три главных компонента в некоторой системе координат равны

\begin{aligned} я_{Икс Икс} & "=" \int (у^{2} + г^{2}) г м \\ я_{у у} & "=" \int (г^{2} + {Икс}^{2}) г м \\ я_{г г} & "=" \int ({Икс}^{2} + у^{2}) г м \end{aligned}

$\begin{align} I_{xx} & = \int (y^2+z^2) {\rm d}m \\ I_{yy} & = \int (z^2+x^2) {\rm d}m \\ I_{zz} & = \int (x^2+y^2) {\rm d}m \end{align}$

Сложите их, чтобы получить

я_{Икс Икс} + я_{у у} + я_{г г} "=" \int (2 {Икс}^{2} + 2 у^{2} + 2 г^{2}) г м

$I_{xx}+ I_{yy}+I_{zz} = \int (2 x^2+2 y^2+2 z^2) {\rm d}m$

что вдвое превышает значение в вашем определении

я_{р а г я а л} "=" \int ({Икс}^{2} + у^{2} + г^{2}) г м

$I_{radial} = \int ( x^2+y^2+ z^2) {\rm d}m$

Более важный вопрос здесь заключается в том, как получено вышеизложенное и как оно используется ? Я думаю, что ОП должен предоставить более подробную информацию, чтобы на вопрос можно было эффективно ответить.

Я нашел "радиальный момент инерции" $\bar{I}$ записав дифференциальное уравнение радиально пульсирующей звезды . Количество $\bar{I}$ вошел в мое уравнение как коэффициент инерции перед второй производной по времени (из уравнения Ньютона), поэтому я задавался вопросом о его собственном физическом смысле.
Если и есть физический смысл, то это не ММОИ или что-то с ней связанное.
@Cham - Извините, массовый момент инерции (MMOI)

gdbb89 · Answer 2

Момент инерции является мерой сопротивления угловому ускорению относительно оси. Если я не ошибаюсь, вам нужен модуль упругости. $E$ (или коэффициент Пуассона $\nu$ ) объекта. Это диктует реакцию на радиальное движение при заданном однородном поле давления, действующем на поверхность сферы.

Обратите внимание, что интеграл, который я определил для радиальных движений, является следом тензора инерции для любого вращения. Связан ли модуль упругости с тензором инерции?
Нет, это не связано с тензором инерции, но и с радиальным движением тоже. Модуль упругости является свойством материала и определяется как отношение напряжения к деформации для данного материала. Вы просто не можете количественно определить сопротивление осевой (или радиальной) деформации, используя тензор момента инерции.
Почему нет ? В своих вычислениях я получил этот радиальный интеграл (который по какому-то совпадению является следом тензора инерции). Поэтому я твердо думаю, что интеграл может что-то сказать о «сопротивлении» радиальному движению (т.е. инерции).

Радиальные движения момент инерции

Чам

Мартин Юдинг

Чам

Сэмми Песчанка

Чам

пользователь121330

Чам

эксмашина

Чам

пользователь121330

Чам

эксмашина

Чам

Чам

Джон Алексиу

Ответы (2)

Джон Алексиу

Чам

Джон Алексиу

Чам

Джон Алексиу

gdbb89

Чам

gdbb89

Чам

Что быстрее? Чистое качение или качение с проскальзыванием?

Можно ли таким образом найти момент импульса любого твердого тела (симметричного или несимметричного)?

Можете ли вы интуитивно объяснить уменьшение периода колебаний с увеличением длины маятника в некоторых случаях?

В чем проблема иметь тензор инерции, не удовлетворяющий неравенству треугольника?

Как доказать существование мгновенной оси вращения?

Значение момента инерции?

Момент инерции орбитальной сферы

Интеграция вращательного движения (динамика твердого тела)

Почему прямоугольный параллелепипед устойчиво вращается вокруг двух осей, но не вокруг третьей?

Почему момент инерции должен быть линейным преобразованием?