Можете ли вы интуитивно объяснить уменьшение периода колебаний с увеличением длины маятника в некоторых случаях?

Рассмотрим твердое тело, подвешенное вокруг оси вращения, которая в общем случае не проходит через его центр масс (ЦМ) и имеет момент инерции (МОИ). 0 < я а Икс я с об этой оси. Позволять я С обозначают момент инерции объекта относительно оси, параллельной упомянутой ранее и проходящей через ЦОМ. Теорема о параллельных осях подразумевает, что я а Икс я с "=" я С + м л 2 где 0 ≤ л это расстояние между двумя осями. Из динамики вращения объекта я а Икс я с θ ¨ "=" − м г л θ , где 0 ≤ θ → 0 - (небольшое) угловое смещение объекта, мы можем уточнить период колебаний как Т "=" 2 π м г л я а Икс я с так что Т ∝ я а Икс я с м л .

В случае простого маятника я С ≈ 0 так что я а Икс я с "=" м л 2 , и поэтому Т ∝ л приводя к обычному выводу (согласующемуся с нашим интуитивным физическим пониманием), что период малых колебаний увеличивается по мере увеличения длины л увеличивается . Однако в случае общих твердых тел, т. е. не точечных масс, алгебра приводит к Т ∝ я С м л + л . Из графика видно, что это выражение объясняет кажущееся противоречащим здравому смыслу наблюдение, что для общих твердых тел (т. е. не точечных масс) для малых л , период малых колебаний уменьшается с увеличением длины л увеличивается в математическом смысле.

В случае простого маятника физически интуитивно понятно, что период времени должен увеличиваться с увеличением л (расстояние, пройденное за колебание, линейно увеличивается с л , а движущая сила остается примерно одной и той же величины независимо от л ). В том же смысле, каково интуитивное физическое объяснение этого явно противоречащего интуиции поведения?

1

Ответы (2)

Рассмотрим маятник, который состоит из 2 точек масс. м соединенных безмассовым жестким стержнем длиной час . Подвесьте его в центре масс. Он не колеблется.

Подвесьте его на небольшом расстоянии, дельта Икс , выше центра масс. Поверните его на 90 градусов. Он медленно колеблется. Момент междоусобицы, я , почти так же, как если бы он был подвешен в центре. Крутящий момент т "=" м г дельта Икс . Угловое ускорение равно α "=" т / я .

Приостановить это 2 дельта Икс выше центра масс. я все еще почти то же самое. т удвоился, и так α .

Рассмотрим другие свойства двух случаев.

  • Расстояние, которое проходит центр масс при половинном колебании, удвоилось по сравнению с π дельта Икс к π 2 дельта Икс .
  • Уменьшение потенциальной энергии при вертикальном вращении удвоилось по сравнению с м г дельта Икс к м г 2 дельта Икс . Так же как и максимальная кинетическая энергия вращения.
  • Максимальная угловая скорость, ю увеличилось вчетверо.

Эти отношения сохраняются для каждого угла во время полуколебаний каждого случая. ю увеличивается в четыре раза по траектории, которая в два раза длиннее. Срок сократился вдвое.

Направление объяснения кажется мне замечательным. Позвольте мне указать, что потенциальная энергия связана с фактором ( дельта Икс ) 2 (таким образом вводя θ 2 связанный с аналогией пружинно-массового гармонического осциллятора с жесткостью пружины м г л рассмотрено здесь). Кроме того, ответ не касается интуиции, стоящей за этим очевидным нелогичным поведением, только в случае малой абсолютной длины. л (а не изменение длины дельта Икс в вашем качественном анализе).
U "=" м г час , где час изменение высоты COM. В этом случае, час "=" дельта Икс или 2 дельта Икс . Здесь нет ( дельта Икс ) 2 зависимость. Период уменьшается только в особых случаях, например, когда поддержка находится очень близко к COM. Для обычного маятника небольшое увеличение длины привело бы к увеличению периода. Это справедливо как для маятника дедушкиных часов с большим латунным блоком, так и для идеального маятника с точечной массой.
Согласованный. Кажется, я неправильно понял переменную дельта Икс . Однако ответ не касается явно нелогичного поведения уменьшения периода времени с увеличением л и почему это происходит только в случае малой абсолютной длины л .
Я не уверен, что могу добавить к этому. Это почти весь ответ, который у меня есть. Это происходит при низком абсолютном л "=" дельта Икс потому что я не сильно меняется и т делает. При большем л , оба я и т изменять.
Хорошо, спасибо за очень тонкий и хороший ответ!
Вы спрашивали о малых угловых смещениях от положения равновесия. Для этого вращая 90 о от равновесия было удобно.
Я думаю, что ваше объяснение имеет смысл, хотя 90 ∘ не является малым угловым смещением. Далее, если перемещение не мало, то движение трудно анализировать, т. е. нелегко получить связь между периодом времени и моментом инерции.

В случае простого маятника физически интуитивно понятно, что период времени должен увеличиваться с увеличением l (расстояние, пройденное за колебание, линейно увеличивается с l). В том же смысле, каково интуитивное физическое объяснение этого явно противоречащего интуиции поведения?

На мой взгляд, поведение простого маятника не такое интуитивное. Я думаю, если обычного посетителя парижского Пантеона спросят о периоде маятника Фуко, неудивительно, если в некоторых ответах, например, в качестве переменной будет указана масса, и упущена роль длины.

Но мы можем иметь «образованное» интуитивное представление о колебаниях твердого тела: поскольку момент инерции равен α м р 2 , где α некоторая постоянная, возрастающая л означает уменьшение параметра длины ( р 2 л ) внутри квадратного корня. Период, так сказать, пропорционален квадратному корню из «длины», если l мало по сравнению с другим членом. И масса отменяется.

Так что его поведение интуитивно в этом смысле.

Действительно, на первый взгляд нетривиально, что период времени не зависит от массы. Спасибо за ответ, так как он разъясняет основу поставленного вопроса. Однако это не касается явно нелогичного поведения уменьшения периода времени с увеличением л и почему это происходит только в случае малой абсолютной длины л . Я понимаю, почему это происходит математически, но я думаю, что этому должно быть интуитивное объяснение.
Можете ли вы интуитивно объяснить уменьшение периода колебаний с увеличением длины маятника в некоторых случаях?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v