Как доказать существование мгновенной оси вращения?

Найдите геометрическое место точек без движения на твердом теле, если точка А неподвижна.

Без ограничения общности поместим систему координат на A . Движение твердого тела определяется, если произвольная точка сохраняет постоянное расстояние от A

$$d = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Это можно найти, установив$\frac{{\rm d}d}{{\rm d}t}=0$который по цепному правилу (с производной по времени от$\frac{1}{2}d^2$) подразумевает

$$x \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} + y \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}+ z \frac{{\rm d}z}{{\rm d}t} = 0$$

В векторной форме приведенное выше

$$\vec{r} \cdot \vec{v} =0$$ с $\vec{r}=(x,y,z)$и $\vec{v} = \frac{{\rm d}\vec{r}}{{\rm d}t}$.

Таким образом, поле скоростей должно быть перпендикулярно вектору местоположения. Очевидным решением вышеизложенного является

$$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$$

$$\vec{r} \cdot (\vec{\omega} \times \vec{r}) \equiv 0$$

Таким образом, мы установили, что вектор представляет собой поле скоростей вида$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$описывает движение твердого тела. Это также накладывает ограничение, которое$\vec{\omega}$постоянна по всему телу, потому что в противном случае приведенное выше выражение не было бы нулевым. Попробуй это.

Теперь рассмотрим точки, параллельные$\vec{\omega}$с$\vec{r} = \lambda \,\vec{\omega}$. Скорости

$$\vec{v}_\parallel = \vec{\omega} \times (\vec{r}) = \vec{\omega} \times \lambda \,\vec{\omega} \equiv 0$$

Теперь рассмотрим точки, перпендикулярные направлению$\vec{\omega}$на расстоянии$d$

$$\vec{r} = \lambda \vec{\omega} + d \vec{n}$$ со свойствами $\| \vec{n} \|=1$и $\vec{n}\cdot\vec{\omega}=0$

$$\vec{v} = \vec{\omega} \times (\vec{r}) = \vec{\omega} \times ( \lambda \,\vec{\omega} + d \,\vec{n}) = d\,(\vec{\omega} \times \vec{n})$$

который является вектором, перпендикулярным обоим$\vec{\omega}$и$\vec{n}$. Это подразумевает тангенциальное (кольцевое) направление скорости, величина которой увеличивается линейно с расстоянием.

Мы называем это движение вращением.

---

Вот интересный факт. Если в какой-то произвольной точке, расположенной в$\vec{r}$вектор скорости$\vec{v}$и тело вращается с$\vec{\omega}$то мгновенная ось вращения находится в точке

$$\vec{q} = \vec{r} + \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}}{\| \vec{\omega} \|^2}$$

Доказательство в том, что$\vec{v} = \vec{\omega} \times (\vec{r}-\vec{q}) \rightarrow$

$$\require{cancel} \begin{align} \vec{v} & = \vec{\omega} \times \left(\vec{r}-\left(\vec{r} + \frac{\vec{\omega} \times \vec{v}}{\| \vec{\omega} \|^2}\right) \right) \\ & = -\frac{\vec{\omega} \times(\vec{\omega} \times \vec{v})}{\| \vec{\omega} \|^2} = -\frac{ \vec{\omega}( \vec{\omega} \cdot \vec{v} ) - \vec{v} (\vec{\omega} \cdot \vec{\omega})}{\| \vec{\omega} \|^2} = \frac{ \vec{v} \| \vec{\omega}\|^2}{\| \vec{\omega} \|^2} - \frac{\vec{\omega}(\vec{\omega}\cdot\vec{v})}{\| \vec{\omega} \|^2} \\ \vec{v} &= \vec{v} -\frac{\vec{\omega}(\cancel{\vec{\omega}\cdot\vec{v}})}{\| \vec{\omega} \|^2} & \vec{v} \equiv \vec{v} \end{align}$$