Радиоактивный распад урана-238

Необходимо сделать еще одно предположение относительно$^{222}Rn$концентрация в нулевое время (неделю назад). Если предположить радиоактивное равновесие между$^{222}Rn$и родитель$^{238}U$вы можете продолжить, как вы сделали. Но вместо того, чтобы брать одну стену, вы должны принять во внимание все стены, сделанные из$^{238}U$загрязненный материал.

С другой стороны, если предположить, что помещение хорошо проветривалось неделю назад, т.е.$^{222}Rn$концентрация в воздухе вначале была нулевая, надо учитывать нарастание активности. Начиная с нулевой активности,$^{222}Rn$будет постепенно расти до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие с исходным радионуклидом (в этом случае это занимает примерно один месяц). Предположим, что радиоактивное равновесие между$^{238}U$и продуктов его распада существует до тех пор, пока$^{226}Ra$(который распадается на$^{222}Rn$). Уравнения распада-роста, описывающие такую ​​ситуацию:

$\frac{dN_1}{dt}=-\lambda_1N_1$

$\frac{dN_2}{dt}=-\lambda_2N_2+\lambda_1N_1$

Где$N_1$,$N_2$число атомов$^{238}U$и$^{222}Rn$соответственно (как функции времени) и$\lambda_1$,$\lambda_2$константы распада$^{238}U$и$^{222}Rn$соответственно.

Решение этой системы уравнений есть

$N_2=\frac{N_0 \lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} (e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t}) \Rightarrow A_2=A_1 \frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1} (e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t})$

С$\lambda_2= 2.1 \times 10^{-6} \ s^{-1} \gg \lambda_1= 4.9 \times 10^{-18} \ s^{-1}$и$1 \ week \doteq 6 \times 10^{5} \ s$мы можем аппроксимировать это решение как

$A_2 \doteq A_1(1-e^{-\lambda_2 t})$

где$t$это время$^{222}Rn$"наращивание" за секунды и$A_1$,$A_2$деятельность$^{238}U$и$^{222}Rn$соответственно и$N_0$это начальное количество$^{238}U$атомы. Это означает, что через неделю$^{222}Rn$вырастет до ~ 70 % его равновесной активности, см. рисунок:

При условии, что$^{222}Rn$исходит от всех стен, включая пол и потолок, мы получаем активность$A_1$из$^{238}U$на единицу объема стенового материала как

$A_1 =\frac{A_2 V_{air}}{V_{material}(1-e^{-\lambda_2 t})}=\frac{50 \times 10^3}{6 \times 10^2 \times 0.03 \times (1-e^{2.1 \times 10^{-6} \times 6 \times 10^5})} \doteq 3900 \ Bq/m^3$