Радиоактивный распад

Задача : ядра радиоактивного элемента. Икс имеющий постоянную распада λ , ( распадается на другие стабильные ядра Д ) производится некоторым внешним процессом с постоянной скоростью Λ .Рассчитать количество ядер Икс и Д в т 1 / 2

Я попытался составить уравнение для скорости изменения числа ядер a:

г Н Икс г т "=" Λ − Н Икс λ

Я сделал это, потому что в простом распаде г Н г т "=" − λ Н держит и тут тоже производится по курсу. Но после интегрирования мы должны написать

л н ( λ Н Икс − Λ λ Н 0 − Λ ) "=" − λ т
или
л н ( λ Н Икс − Λ Н 0 ) "=" − λ т
Первый, потому что лимит был включен Н : ( Н 0 → Н ) И дальше чем заменить т (т.е. что такое т 1 / 2 ? л н 2 / λ или что-то другое?)

Также как это сделать для Д ? Просто пиши

г Н Д г т "=" λ Н Икс
?

Кстати, у этой проблемы есть причина. Когда у вас есть цепь распада Вт → Икс → Д где т Вт ≫ т Икс измерения в масштабе времени т Икс выглядят так, как будто у них постоянная скорость пополнения видов Икс . Это действительно имеет место, например, в нижней части цепочки Радона, где Вт представляет собой Pb-210 и Икс является Po-210 (на самом деле есть также промежуточный вид с еще более коротким периодом полураспада, но если вы разберетесь с этим, вы увидите, что можете эффективно его игнорировать).
Дифференциальное уравнение правильное, а решение нет. Вам нужно использовать интегрирующий коэффициент для решения дифференциального уравнения. Краткий ответ на ваш вопрос заключается в том, что после одного периода полураспада значение Н Икс будет Λ / 2 . Это предполагает, что Н Икс начал с нуля.

Ответы (2)

Первое из ваших уравнений верно. Вы можете увидеть это двумя способами. Во-первых, просто посмотрите на размеры. В общем случае аргумент логарифма должен быть безразмерным; только ваш первый вариант. Во-вторых, и, может быть, более убедительно, посмотрите на то, что вы получите, когда возьмете Λ → 0 . Вы должны быть в состоянии воспроизвести стандартное уравнение распада:

Н Икс ( т ) "=" Н 0 е − λ т   .
В первом уравнении факторы λ в левой части отмените, и вы получите этот результат. С вашим вторым уравнением вы получите Н Икс ( т ) "=" Н 0 λ е − λ т . Так что это должно быть неправильно.

Что касается того, что т 1 / 2 это, конечно, должно быть просто период полураспада Икс (без создания). В частности, если Λ достаточно большой, Н Икс на самом деле будет расти, поэтому нет времени, когда бы осталась половина материала. С Д стабилен, вы можете предположить, что там нет соответствующего периода полураспада.

Кроме того, ваше выражение для Н Д верно. Это немного сложнее интеграции, но не так уж плохо.

См. здесь (часть этого ответа, я думаю, неверна) en.wikipedia.org/wiki/Half-life
Привет @nonagon. Я понимаю определение периода полураспада, но вопрос несколько двусмыслен в отношении того, какое значение следует придавать этому символу. т 1 / 2 . Как я утверждал выше, и 007 утверждал в ответ на ваш ответ, если Λ достаточно велик, никогда не будет времени, когда Н Икс "=" Н 0 / 2 . И даже если есть такое время, смысл т 1 / 2 тогда будет зависеть от обстоятельств. Иное разумное толкование символа т 1 / 2 состоит в том, чтобы считать его фиксированной характеристикой определенного изотопа. В таком случае вопрос вообще имеет смысл.
Также я думаю, что лечение т 1 / 2 поскольку фиксированная характеристика изотопа - это просто более распространенное соглашение. Частью занятий по физике является расшифровка смысла вопросов. :)
Если скорость производства достаточно велика, популяция вырастет до некоторого равновесного размера.

Итак, вот что я сделал, я дискретизировал проблему и вывел Н Икс и Н у некоторые т н . Среди них оказались суммы, которые можно было легко превратить в интегралы. А именно:

Н Икс ( т н ) "=" Н 0 е − λ т н + Λ ∑ я "=" 0 н Δ т я е − λ ( т н − т я )
Н у ( т н ) "=" Н 0 ( 1 − е − λ т н ) + Λ ∑ я "=" 0 н Δ т я ( 1 − е − λ ( т н − т я ) )

В результате я обнаружил следующее:

Н Икс ( т )   "="   Н 0 е − λ т + Λ λ ( 1 − е − λ т )
Н у ( т )   "="   Н 0 ( 1 − е − λ т ) − Λ λ ( 1 − е − λ т ) + Λ т

В т 1 2 "=" л н ( 2 ) λ , е − λ т "=" 1 2 , поэтому:

Н Икс ( т 1 2 )   "="   Н 0 + Λ λ 2
Н у ( т 1 2 )   "="   Н 0 2 + Λ λ ( л н ( 2 ) − 1 2 )

Хорошо, поэтому я готов принять заслуженную -1, но из вежливости хотелось бы, чтобы кто бы это ни был, он оставил комментарий о том, почему им не понравился мой ответ. Это согласуется с тем, что сказал Майк, и, насколько я знаю, полностью отвечает на вопрос. Я где-то ошибся?
Я тоже не очень понимаю, что -1. Это не так, как я бы решил это, но это кажется правильным.
+1 . Правильные ответы. С полной интеграцией. :). Хорошо, я сделаю это завтра. Моя дневная норма закончилась.:p
@007 Ваша дневная норма закончилась? Вы делаете честь сайту, сэр.
Дневная квота на голосование. И почему вы называете это господином?
Я знаю, я был серьезен. Если вы максимально используете свою квоту, вы явно посвящаете сайту достаточно времени, пытаясь улучшить его для всех нас. Таким образом, кредит «сэр» был предложенным титулом уважения.
Радиоактивный распад
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v