Расчет разряда ультраконденсаторов

Если мы смоделируем установку с конденсатором, подключенным параллельно нагрузке, и пусть$i$быть ток в нагрузке и$v$напряжение между ними, уравнения цепи:

$$\left\{ \begin{aligned} -i &= C \dfrac {dv} {dt} \\[1 em] v i &= P \end{aligned} \right. \qquad \Leftrightarrow \qquad \left\{ \begin{aligned} -i &= C \dfrac {dv} {dt} \\[1 em] i &= \dfrac P v \end{aligned} \right.$$

Где P - постоянный уровень мощности. Соединив их вместе, вы получите следующее дифференциальное уравнение:

$$C \dfrac {dv} {dt} = - \dfrac P v \qquad \Leftrightarrow \qquad v dv = - \dfrac P C dt \qquad \Leftrightarrow \qquad 2 v dv = -2 \dfrac P C dt$$

Если мы интегрируем, начиная с момента 0, где мы предполагаем, что напряжение$v_0$находится поперек шапки, получаем:

$$\int_{v_0}^{v} {2 v dv} = \int_0^t {-2 \dfrac P C dt} \qquad \Leftrightarrow \qquad v^2 - v_0^2 = -2 \dfrac P C t$$

Отсюда легко получить формулу для напряжения и времени:

$$t = \dfrac {C}{2 P} (v_0^2 - v^2) \qquad v = \sqrt{v_0^2 - \dfrac{2P}{C} t}$$

Если мы хотим принять во внимание ESR или другие элементы схемы, уравнение становится более сложным для решения, но для первоначального предположения этого должно быть достаточно.

Вот симуляция LTspice для системы. Обратите внимание, что нагрузка моделируется поведенческим источником тока, который ведет себя как нагрузка с постоянной мощностью только до тех пор, пока его напряжение не достигнет Vmin, а затем возвращается к поведению с постоянным сопротивлением. Это необходимо, чтобы избежать численной нестабильности при моделировании, поскольку настоящий источник постоянной мощности не является физическим устройством (при 0 вольт потребляет бесконечный ампер).

И вот результаты. Вы можете заметить подтверждение обратного во времени квадратного корня напряжения Vx, предсказанного теоретически выше. Формы сигналов меняются на обычные экспоненциально затухающие напряжение и ток, когда нагрузка переходит в режим постоянного сопротивления.

Вот увеличенный график напряжения, который показывает значение времени, которое вам нужно:

Что согласуется со значением, вычисленным по приведенной выше формуле:

$$t_{shutdown} = t(v)\bigg|_{v=10V} = \dfrac {C}{2 P} (v_0^2 - v^2)\bigg|_{v=10V} = \dfrac {1000F}{2 \times 280W} \left[(15V)^2 - (10V)^2\right] = 223.2 s$$

Теоретически ответом на домашнее задание было бы взять энергию в конденсаторе в начале и энергию в конденсаторе, когда устройство перестает работать (предположительно, 10 В) и вычесть два.

$\Delta$У =$(\frac{CV_i^2}{2}$-$\frac{CV_f^2}{2})$

Поскольку вы знаете уровень потребления энергии (280 Дж/с), вы можете легко рассчитать время работы.