Фактор нормализации

Давайте определим обобщенную функцию плотности вероятности Гаусса (PDF) как:

$$f_{s}\left( x \right) = A_{o} \ e^{^{\displaystyle - \frac{ (x - x_{o})^{2} }{ 2 \sigma^{2} } }} \tag{0}$$ где $A_{o}$нормировочная постоянная, $x$является аргументом, и $s$обозначает набор распределений (например, виды частиц), $x_{o}$представляет собой смещение пика от $x = 0$, и $\sigma$является дисперсией распределения.

Фактор нормализации$A_{o}$находится с использованием следующего ограничения:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \ dx \ f_{s}\left( x \right) = 1 \tag{1}$$

Аналитическое решение этого интеграла можно найти в любой стандартной таблице интегралов или с помощью чего-то вроде Mathematica , где можно найти:

$$A_{o} = \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \ \pi \ \sigma^{2}} } \tag{2}$$

Максвелловское распределение скоростей

Чтобы преобразовать одномерную гауссову PDF в уравнении 0 выше в распределение Максвелла-Больцмана или Максвелла, мы просто преобразуем переменные следующим образом:

• $x \rightarrow v$, где$v$является аргументом скорости$f_{s}$начиная от$-\infty$к$+\infty$
• $x_{o} \rightarrow v_{o}$, где$v_{o}$скорость дрейфа или объемная скорость потока
• $2 \ \sigma^{2} \rightarrow V_{Ts}^{2}$, где$V_{Ts}$- тепловая скорость (здесь наиболее вероятная скорость )

Тогда мы можем видеть, что одномерный максвеллиан дается выражением:

$$f_{s}\left( v \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{\pi} \ V_{Ts} } \ e^{^{\displaystyle - \left( \frac{ v - v_{o} }{ V_{Ts} } \right)^{2} }} \tag{3}$$

Преобразование в полное трехмерное распределение достаточно просто, если каждый компонент скорости$v_{j}$, не коррелирует ни с каким другим компонентом. Затем (опуская индекс$s$для краткости) мы можем определить:

$$\begin{align} f\left( v_{x}, v_{y}, v_{z} \right) & = f\left( v_{x} \right) \ f\left( v_{y} \right) \ f\left( v_{z} \right) \tag{4a} \\ & = \prod_{ k = x,y,z } \ A_{k} \ e^{^{\displaystyle - \left( \frac{ v_{k} - v_{ok} }{ V_{Tk} } \right)^{2} }} \tag{4b} \end{align}$$ где общий нормировочный коэффициент определяется как: $$A_{x} \ A_{y} \ A_{z} \ = \frac{ 1 }{ \pi^{3/2} \ V_{Tx} \ V_{Ty} \ V_{Tz} } \tag{5}$$

Преобразование в энергию

Чтобы сделать это должным образом, следует использовать импульсный аналог описанной выше версии в пространстве скоростей.

В нерелятивистском пределе преобразование импульса в энергию равно$E = \tfrac{p^{2}}{2 \ m}$или$p = \sqrt{2 \ m \ E}$. Следовательно, мы можем видеть, что$dp/dE \propto E^{-1/2}$или$\propto p^{-1}$. Поскольку энергия является скаляром, пределы интегрирования (например, при нахождении нормировочного множителя) меняются от$-\infty \leq v_{j} \leq +\infty$к$0 \leq E \leq +\infty$.

Тогда 3D-версия (например, уравнение 4b выше) становится:

$$f\left( E \right) = \frac{ 1 }{ Z } \ e^{^{\displaystyle - \left( \frac{ E }{ k_{B} \ T } \right) }}$$ где $Z$является статистической суммой , $k_{B}$постоянная Больцмана , а $T$это температура.

В релятивистском пределе ситуация становится невероятно сложной, как обсуждалось в разделе Что такое правильная релятивистская функция распределения? .

Транспортные коэффициенты

Их можно вычислить, используя моменты распределения. Я написал подробный ответ для нерелятивистского распределения скоростей на https://physics.stackexchange.com/a/218643/59023 .

Чтобы приведенные выше распределения вероятностей согласовывались с моментами скоростей, обсуждаемыми в моем другом ответе, вы можете переопределить$f_{s}$так что при интегрировании по всему пространству скоростей получается числовая плотность множества$s$.