Вывод уравнения баланса энтропии с поступлением и выходом вещества путем конвекции (потока массы)

Во многих книгах по инженерной термодинамике уравнение баланса энтропии записывается как

$\frac{dS}{dt}=\Pi_S+I_S$

$I_S=\sum_{j=1}\frac{\dot{Q}_{j}}{T_j}+\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$

$\frac{dS}{dt}=\Pi_S+\sum_{j=1}\frac{\dot{Q}_{j}}{T_j}+\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$

Где термин "$\Pi_S$" представляет собой скорость производства энтропии, которая всегда положительна или равна нулю,$\Pi_S\ge0$, а срок$I_S$означает скорость обмена энтропии.$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i$,$\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$- входящая и исходящая энтропия соответственно из-за массового расхода. Где$s_i$,$s_e$- интенсивная энтропия на единицу массы.

Откуда$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$родом из? Как вывести его формальным образом? Другие авторы, такие как Ансерме, могут сделать вывод, что на самом деле$I_S=\frac{\dot{Q}}{T}$но не энтропия, обмениваемая массовыми потоками

В книге «Принципы термодинамики» Жана Филиппа Ансерме говорится, что эволюцию энтропии в макроскопическом масштабе можно описать следующим образом:

$\frac{dS}{dt}=\Pi_S+I_S$

Несколько страниц назад автор говорит, что эволюцию внутренней энергии системы можно описать как

$\dot{U}=T\dot{S}-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}=P_Q+P_W+P_C$

Где$P_Q , P_W, P_C$- тепловая, механическая и химическая энергия соответственно. Тепловая мощность$P_Q$это та же переменная, что$\dot{Q}_j$, так$P_Q=\dot{Q}_j$. Мы можем переписать уравнение эволюции внутренней энергии в терминах$\dot{S}$.

$\dot{S}=\frac{1}{T}(P_Q+P_W+P_C+P\dot{V}-\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i})$

Обмен энтропией происходит, когда существует теплообмен. В связи с изложенным выше, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$\dot{S}=\frac{1}{T}(P_W+P_C+P\dot{V}-\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i})+\frac{P_Q}{T}$

Следовательно, когда процесс обратим, производства энтропии не происходит.$\Pi_S=0$и нет обмена энтропией$I_S=0$. Тогда мы можем вывести обратимую теплоту, механическую работу и химическую работу.

$\frac{1}{T}(P_W+P_C+P\dot{V}-\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i})=\Pi_S=0$у$\frac{P_Q}{T}=I_S=0$

$P_W=-P\dot{V}\Rightarrow\delta W=P_Wdt=-PdV\Rightarrow W_{if}=\int_i^f\delta W=-\int_{V_i}^{V_f}PdV$

$P_C=\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}\Rightarrow\delta C=P_Cdt=\sum_{i=1}^C\mu_idN_i\Rightarrow C_{if}=\int_i^f\delta C=\int_{N_{i_i}}^{N_{i_f}}\sum_{i=1}^C\mu_idN_i$

$P_Q=TI_S$

В обратимом процессе мы можем переписать уравнение внутренней энергии, чтобы получить другое выражение для$P_Q$

$\dot{U}=T\dot{S}-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}=P_Q+P_W+P_C\Rightarrow T\dot{S}-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}=P_Q-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i} \Rightarrow P_Q=T\dot{S}$

$P_Q=T\dot{S}\Rightarrow \delta Q=P_Qdt=TdS\Rightarrow Q_{if}=\int_i^f\delta Q=\int_{S_i}^{S_f}TdS$

Но Ансерме не может показать, откуда$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$родом из.

Кроме того, как мы можем соответствовать термину$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$когда мы берем дифференциальную форму энтропии$dS$?