Распределение составляющих скорости поворотной костяшки домино, вращающейся на 90° по часовой стрелке

У падающей костяшки домино ускорение вращения

$$\ddot{\theta} = \frac{3 g}{2 \sqrt{h^2 + w^2}} \sin \left( \theta - \tan^{-1} \left( \tfrac{w}{h} \right) \right)$$

где$g$гравитация,$h$высота домино,$w$ширина домино и$\theta$угол наклона. Вышеприведенное решается с точки зрения скорости вращения, если предположить, что начальная скорость вращения (после удара) равна$\omega$

$$\dot{\theta}^2 = \omega^2 + \frac{3 g}{h} \frac{h \sqrt{h^2+w^2}-w (s-w)-h \sqrt{h^2-(s-w)^2}}{h^2+w^2}$$

где$s$это расстояние между костяшками (не зазор, а расстояние между центрами).

Трюк теперь для падающего домино с$\dot{\theta}$ударить по вертикальному, что приводит к скорости$\omega$. Чтобы его найти, нужна приведенная масса$\mu$системы по нормали контакта. Если каждая костяшка домино имеет массу$m$, то приведенная масса равна

$$\frac{ \mu}{m} = \tfrac{h^2 (h^2+w^2)}{44 h^4 + 3 w^2 (s-w)^2 - h^2 (39 s^2-78 s w + 37 w^2)+6 h \sqrt{h^2-(s-w)^2}(2 h^2 +3 w (s-w))}$$

Скорость точки контакта$v_{impact} =\dot{\theta} \sqrt{h^2 - (s-w)^2}$и обменный импульс$J = \mu\, v_{impact}$(при условии, что коэффициент реституции равен 0)

В результате начальная (вращательная) скорость следующей костяшки костяшки после удара равна

$$\omega = \frac{ \dot{\theta} 6 h^2}{h^2+w^2} \tfrac{ h (h^2+w^2) \sqrt{h^2-(s-w)^2}+2 h^4+2 h^2 s (2 w-s)-2 w^2 (s-w)^2}{44 h^2+3 w^2 (s-w)^2-h^2 (39 a^2-78 s w + 37 w^2) + 6 h \sqrt{h^2-(s-w)^2} (2 h^2 +3 w (s-w))}$$

Объедините 2-е и 4-е выражения сверху, чтобы найти начальную скорость вращения костяшки домино.

$$\omega^2 = \frac{ 1 - \tfrac{(h^2+w^2)^2 \left(6 h \sqrt{h^2-(s-w)^2}(2 h^2+3 w (s-w))+44 h^2 - h^2 (39 s^2-78 s w+37 w^2)+3 w^2 (s-w)^2\right)^2}{36 h^4 \left(h (h^2+w^2) \sqrt{h^2-(s-w)^2}+2 h^4+2 h^2 s (2 w-s) -2 w^2 (s-w)^2 \right)^2}}{\tfrac{3 g (h \sqrt{h^2-(s-w)^2}-h \sqrt{h^2+w^2}+w (s-w)}{h (h^2+w^2)}}$$

---

_{Ссылка: Рассчитайте силу между вращающимися объектами и импульсный угловой момент .}