Рассчитать время до удара о эллипсоид Земли

В качестве простого проекта, чтобы познакомиться с орбитальной механикой, я пытаюсь рассчитать время удара объекта, близкого к Земле. Сейчас я использую только кеплеровскую механику (без сопротивления воздуха или других возмущающих сил). Из Основ астродинамики дан объект с эксцентрической аномалией. Е 0 в т 0 и Е 1 в т 1 :

т 1 знак равно т 0 + а 3 мю ( Е 1 − е грех ⁡ Е 1 − ( Е 0 − е грех ⁡ Е 0 ) )

куда а большая полуось, е - эксцентриситет, и мю — гравитационный параметр. Затем мы можем вычислить радиус перицентра. Предполагая сферическую Землю, если это меньше радиуса Земли, объект ударится. Если это так, пусть р 1 знак равно р знак равно радиус Земли, мы можем рассчитать эксцентрические аномалии на т 0 и т 1 с использованием:

потому что ⁡ ν я знак равно а ( 1 − е 2 ) − р я е р я
потому что ⁡ Е я знак равно е + с о с ν я 1 + е потому что ⁡ ν я

куда ν я является истинной аномалией и р я это расстояние от центра Земли на т я . Этот метод хорошо работает для непараболических траекторий (я открыт для модификаций для параболических траекторий).

Следующий шаг — ослабить ограничение сферической Земли и позволить Земле быть эллипсоидом, другими словами, пусть р знак равно р ( г ) (симметричный относительно оси вращения). В частности, я хотел бы учесть выпуклость на экваторе, задав экваториальный радиус, полярный радиус и эксцентриситет. Можно ли решить эту задачу аналитически или это необходимо делать численно?

Это мой первый пост на этой бирже стека; Я чувствовал, что это лучше подходит здесь, чем, например, scicomp. Если это не так, пожалуйста, дайте мне знать.

Околоземный объект будет двигаться по гиперболической траектории по отношению к Земле, поэтому вы не можете использовать эти уравнения, которые относятся к чему-то на орбите вокруг Земли.
Не обязательно, у вас может быть что-то вроде МБР например.
Кстати, вы считаете, что эту книгу стоит взять в руки? Я сосредоточился на истории, юриспруденции, менеджменте и т. д. в своей космической степени (мало внимания уделяя чему-то еще), но мне всегда интересно расширяться.
Определенно да! Она действительно хорошо написана и охватывает широкий круг тем, от основных орбит до межпланетных траекторий. В каждом разделе рассказывается об истории используемых методов; кое-что, что я нашел действительно интересным. Единственным недостатком является то, что она была написана в 1970-х, так что она несколько устарела, но, эй, она была достаточно хороша, чтобы доставить нас на Луну.
Если вы допустите эллипсоид Земли, вы получите орбиты, на которых объект либо ударится, либо промахнется по Земле, в зависимости от того, в каком периоде своего вращения находится Земля. Итак, вы добавили измерение к своей проблеме.
Я предположил, что под околоземным объектом вы имели в виду околоземный объект .
@MarkAdler, извините, я отредактирую вопрос, чтобы сделать его более понятным.
@Hobbes Возможно, в вопросе неясно, но мой эллипсоид по-прежнему будет симметричен относительно оси вращения (просто выпуклый экватор), поэтому я не думаю, что период вращения Земли имеет значение (игнорируя нутацию и прецессию).
Я бы проголосовал за то, чтобы сделать это численно, но это то, что я привык делать.
Я предполагаю, что вы не ограничиваете проблему только экваториальными наклонениями, поскольку вы сможете использовать орбиты Кеплера с поправочным коэффициентом для гравитационного параметра. Также вы предполагаете однородную плотность, или центр будет более плотным, как Земля?
Вы недостаточно описали свою проблему. Если ваша орбита находится в плоскости экватора, то это ничем не отличается от сферической задачи, просто используя экваториальный радиус. Орбита наклонена? Вращается ли он вокруг линии апсид? Вращается ли он вокруг перпендикуляра к плоскости орбиты?
@MarkAdler Я не накладываю никаких ограничений на орбиту, на самом деле я хотел бы также рассчитать время столкновения для парабол и гипербол, но это, вероятно, немного другая проблема, поэтому я бы принял ответы, относящиеся к любой эллипс.
@fibonatic на самом деле меня просто интересует очень упрощенный случай, когда просто есть выпуклый экватор, игнорируя любые вызванные им гравитационные возмущения. Это означает, что мы все еще можем иметь Землю в виде точечной массы (при условии однородной плотности).

Ответы (1)

В общем случае вам нужно будет численно решить радиусы, на которых орбита пересекает эллипсоид. Затем вы можете решить аналитически для времени, в которое орбита находится на этих радиусах. То есть если игнорировать Дж 2 . Поскольку вы сделали его эллипсоидом, вы ввели Дж 2 , так что вы больше не будете на кеплеровской орбите. Брать Дж 2 Принимая во внимание, времена также должны быть численно решены.

Рассчитать время до удара о эллипсоид Земли
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v