Расширения высших порядков гравитационно-связанной системы путем возмущения метрики

Часто в литературе (см., например, стр. 142 https://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019 ) при линеаризации гравитационной системы (чистой или связанной с материей) вокруг пространства Минковского метрику записывают как г м н "=" η м н + час м н . час м н обычно считается небольшим возмущением метрики, а метрика, обратная первому порядку, записывается г м н "=" η м н − час м н . Это позволяет нам выполнять разложение в ряды различных геометрических объектов (таких как кривизна, соединения и т. д.).

Мой вопрос заключается в следующем: при этом мы действительно требуем, чтобы г м н "=" η м н + час м н выполняется точно, а затем вычисляет обратную метрику до первого порядка? Эта интерпретация на первый взгляд ничего не меняет, но если мы хотим перейти к более высокого порядка оно делает. Например, предположим, что мы хотим выполнить расширение второго порядка, тогда мы сталкиваемся (по крайней мере) со следующими двумя возможностями:

  1. Мы требуем г м н "=" η м н + час м н выполняется для всех порядков и вычислить обратную метрику для второго порядка как г м н "=" η м н − час м н + час м к час к н . Это делается, например, в https://arxiv.org/abs/hep-th/9411092v1 , см. ур. (2.9) и (2.10).
  2. В качестве приближения второго порядка запишем метрику как г м н "=" η м н + час м н + 1 2 час м к час к н и вычислить его обратное ко второму порядку как г м н "=" η м н − час м н + 1 2 час м к час к н .

Выбираем ли мы вариант (1) или (2), это влияет на явные формы расширений высших порядков геометрических объектов. Тогда, например, если мы воспользуемся схемой (1) для линеаризации действия Эйнштейна-Гильберта, мы придем к другому квадратичному действию, чем если бы мы использовали схему (2) (на самом деле, для плоского фона это не имеет значения, но это было бы для общего фона Ricci-flat - в любом случае, надеюсь, вы поняли).

Является ли одна схема более правильной, чем другая? Или просто один из них используется чаще и считается общим соглашением при линеаризации вещей? Или две схемы фактически эквивалентны (в фиксированном порядке), поскольку формулы в (2) можно получить заменой час м н → час м н + 1 2 час м к час к н в 1)?

Ответы (1)

В общем, есть разные способы настроить теорию возмущений, в зависимости от того, что вы хотите сделать.

Если ваша цель состоит в том, чтобы решить уравнения Эйнштейна пертурбативно, то распространенным подходом будет итеративное расширение метрики вокруг точного решения (давайте просто предположим, что это Минковский для простоты)

г мю ν "=" η мю ν + час мю ν ( 1 ) + час мю ν ( 2 ) + . . .
Причина, по которой это полезно, заключается в том, что уравнения Эйнштейна для н Метрическое возмущение -го порядка будет линейным уравнением, источником которого является 1 , 2 , . . . н − 1 возмущения порядка (которые ранее были решены). (Этот случай на самом деле не упоминался в вашем вопросе).

Например, при заданном тензоре энергии напряжения источника Т мю ν , уравнение Эйнштейна ведущего порядка имеет вид

Е час мю ν ( 1 ) "=" Т мю ν
где Е является оператором Лихнеровича , или вы можете сказать Е час мю ν линеаризованный тензор Эйнштейна.

Тогда уравнение для возмущения метрики второго порядка имеет вид

Е час мю ν ( 2 ) "=" т ( 1 ) [ час ( 1 ) ] мю ν
где т ( 1 ) [ час ( 1 ) ] мю ν представляет собой тензор энергии псевдонапряжения, зависящий от час ( 1 ) . Поскольку мы уже решили уравнение главного порядка для час ( 1 ) , приведенное выше уравнение следует рассматривать как линейное уравнение, которое необходимо решить для час ( 2 ) .

Однако это не единственный способ построения теории возмущений. Например, в квантовой теории поля метрическое возмущение чаще определяют как

г мю ν "=" η мю ν + час мю ν
без дальнейшего разделения час мю ν в часть первого порядка, часть второго порядка и т. д. (это соответствует случаю 1 в вашем вопросе). Тогда мы можем думать о час мю ν как поле, и мы можем сделать теорию возмущений КТП, используя лагранжиан с взаимодействиями кубического и более высокого порядка в час , который схематически имеет вид
л ∼ ( ∂ час ) 2 + час ( ∂ час ) 2 + . . .

Гораздо реже, хотя математически возможно, написать выражение для метрического тензора, которое на самом деле нелинейно по метрическому возмущению (это случай 2 в вашем вопросе). Это имеет тенденцию к увеличению сложности, поскольку теперь вы ввели нелинейное уравнение, которое необходимо решить, чтобы определить метрическое возмущение. Однако бывают случаи, когда это может оказаться полезным. Например, можно работать с вильбейном. е мю а , который связан с метрикой через

г мю ν "=" η а б е мю а е ν б
Если вильбейн является естественным полем для использования (например, если вы связываете фермионы с гравитацией), полезным шагом может быть возмущение вильбейна
е мю а "=" дельта мю а + 1 2 час мю а
Это приводит к нелинейному выражению для метрического возмущения
г мю ν "=" η мю ν + час мю ν + 1 4 η а б час мю а час ν б

Спасибо за ваш проницательный ответ. Я действительно работаю в подходе vielbein, но возникает тот же вопрос: нужно ли писать е ~ а м "=" е а м + час а б е б м + 1 2 час а б час б с е с м или е ~ а м "=" е а м + час а б е б м ? От вашего ответа зависит ваше намерение. Но если я хочу сравнить с кем-то, работающим в метрическом подходе, то за пределами первого порядка, это, вероятно, наш час а б поля - это не одно и то же. Таким образом, нам нужно будет сравнить пертурбативные схемы и согласовать карту между ними.
У меня есть вопрос относительно (например) преобразований Вейля: предположим, что у нас есть две конформно связанные метрики, г ~ м н "=" е − 2 о г м н . Мы считаем г м н быть фоновым пространством-временем, относительно которого мы хотим выполнить пертурбативное расширение. В схеме (1) вопроса мы бы имели
г ~ м н "=" г м н + час м н   , час м н "=" ( е − 2 о − 1 ) г м н   .
В схеме (2) имеем
г ~ м н "=" г м н + час м н + 1 2 час м п час п н   , час м н "=" − 2 о г м н   .
В каком смысле час м н схемы (1) считается возмущением ?
@NormalsNotFar Да, вам нужно составить карту между двумя наборами переменных более высокого порядка. Я бы порекомендовал задать ваш вопрос о преобразовании Вейля в качестве второго вопроса, поскольку это хороший вопрос, а комментарии не подходят для расширенного обсуждения. Краткая версия заключается в том, что вы можете выбрать любой удобный способ создания пертурбативного расширения.
Расширения высших порядков гравитационно-связанной системы путем возмущения метрики
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v