Источник энергии гравитационных волн в линеаризованной теории

Не вникая во все математические подробности, суть энергетической ситуации такова.

Сначала предположим, что существует такое тело, как двойная звездная система, где квадрупольный момент является функцией времени. Когда звезды вращаются вокруг своего общего центра масс, пространство-время вокруг них искривляется соответствующим образом, и часть этой кривизны распространяется наружу. При этом орбиты также постепенно меняются. Когда распространяющаяся часть (называемая нами гравитационными волнами) достигает других объектов, таких как массы на пружинах, они производят приливной эффект, и это заставляет массы двигаться относительно друг друга, так что пружины сжимаются или растягиваются.

Если мы теперь посмотрим на энергию, то обнаружим, что постепенное изменение орбиты у источника таково, что источник теряет энергию, воздействие на пружины заключается в том, что они приобретают энергию. Если есть трение, то оно будет преобразовано, например, в тепло. И, кроме того, по крайней мере в пределе слабого поля можно все это соединить и обнаружить, что энергия сохраняется.

Добавьте к этому тот факт, что ОТО является локальной теорией, и вы получите общую картину переноса энергии от источника к детектору с помощью волн. И, кроме того, все это может быть уточнено в пределе слабого поля и в некоторых других случаях, которые могут быть проанализированы полностью. Однако это не меняет того факта, что энергия — тонкое понятие в ОТО. Энергия, связанная с гравитационными волнами, не может быть напрямую связана с квадратом амплитуды волны в точке. Однако с высокой (но не совершенной) точностью его можно связать для малоамплитудных волн с некоторыми пространственными средними, где усреднение берется по областям пространства шириной порядка длины волны.

Энергия, связанная с гравитационными волнами, не проявляется в$T^{ab}$(тензор энергии напряжения) в полной теории. Скорее это нелинейность уравнения Эйнштейна, которое с помощью замечательного математического фокуса каким-то образом объясняет, как гравитация перемещает энергию. В линеаризованной теории мы начинаем с$T^{ab}$нуля в вакууме, но затем для учета энергии мы расширяем рассмотрение до следующего порядка аппроксимации, и это удобно сделать, включив следующие (т.е. 2-го порядка) члены в тензор Эйнштейна, но решив интерпретировать их как часть тензор энергии-импульса. В этом случае чистый эффективный тензор энергии-импульса будет отличен от нуля в вакууме, если существуют гравитационные волны.

Физическая картина

Ситуация, которую вы описываете, представляет собой гравитационные волны ( небольшие возмущения метрики), распространяющиеся либо по плоской космической метрике,$\eta_{\mu\nu}$или какая-то изогнутая геометрия$g^B_{\mu\nu}$. Эти волны действительно несут импульс и энергию, поэтому есть вклад в полный тензор напряжений.$T_{\mu\nu}$от этих волн. Однако, поскольку эти волны малы, мы можем трактовать вклад тензора энергии-импульса волн в геометрию (на жаргоне это называется обратной реакцией ГВ на метрику) в пертурбативной манере. В частности, если мы работаем в ведущем порядке (чисто линейном по возмущению метрики), самосогласованно игнорировать влияние тензора энергии-импульса ГВ на геометрию.

Математические детали

Преобразование точных уравнений

Точные уравнения Эйнштейна (в единицах с$c=1$) являются

$$\begin{equation} G_{\mu\nu} = 8\pi G_N T_{\mu\nu} \end{equation}$$ где$G_N$– постоянная Ньютона.

Теперь рассмотрим только левую сторону. Запишем метрику как плоское пространство$\eta_{\mu\nu}$плюс небольшое возмущение$h_{\mu\nu}$

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + \sqrt{G_N} h_{\mu\nu} \end{equation}$$ Причина выставления$\sqrt{G_N}$станет ясно позже, но имейте в виду, что$G_N$это небольшое число, и мы будем использовать его в качестве параметра расширения. Кстати можно пройти все последующие шаги с любой фоновой метрикой$g^B_{\mu\nu}$вместо$\eta_{\mu\nu}$; содержание такое же, но вам нужно будет отслеживать некоторые дополнительные детали, такие как использование ковариантной производной, связанной с фоновой метрикой, и определение фонового тензора энергии-импульса.

Тогда мы можем написать

$$\begin{equation} G_{\mu\nu} = \sqrt{G}_N \hat{\mathcal{E}}^{(1)} h_{\mu\nu} + G_N \hat{\mathcal{E}}[h]^{(2)} h_{\mu\nu} + \cdots + G_N^{N/2} \hat{\mathcal{E}}[h]^{(N)} h_{\mu\nu} \end{equation}$$ где$\hat{\mathcal{E}}[h]^{(N)}$— дифференциальный оператор, содержащий две производные, и$h$поднят к власти$N-1$. Схематично,$\hat{\mathcal{E}}[h]^{(2)} h \sim h^2 \partial^2 h + h \partial h \partial h$. Обратите внимание, что оператор ведущего порядка,$\mathcal{E}^{(1)}$, не зависит от$h$совсем.

В пространстве-времени Минковского$T_{\mu\nu}=0$. Таким образом, уравнения Эйнштейна можно записать в виде

$$\begin{equation} \sqrt{G}_N \hat{\mathcal{E}}^{(1)} h_{\mu\nu} + G_N \hat{\mathcal{E}}[h]^{(2)} h_{\mu\nu} + \cdots + G_N^{N/2} \hat{\mathcal{E}}[h]^{(N)} h_{\mu\nu}= 0 \end{equation}$$

Обратите внимание, что до этого момента мы фактически не делали никаких приближений. Мы записали точные уравнения Эйнштейна с$T_{\mu\nu}=0$, но просто с каким-то странным выбором переменных и без явного вычисления операторов$\hat{\mathcal{E}}^{(N)}$. (Конечно, вы можете найти их в литературе, если хотите, хотя мои обозначения могут быть нестандартными).

Итеративное решение

Теперь разработаем итеративное решение для метрического возмущения$h_{\mu\nu}$. Мы пишем

$$\begin{equation} h_{\mu\nu} = h^{(1)}_{\mu\nu} + \sqrt{G_N} h^{(2)}_{\mu\nu} + ... + G_N^{N/2} h^{(N)}_{\mu\nu} \end{equation}$$ Затем мы следуем следующей итерационной процедуре:

1. Затыкать$h^{(1)}_{\mu\nu}$в уравнения Эйнштейна и работают в ведущем порядке по малому параметру$G_N$.
2. Подключите решение$h^{(1)}_{\mu\nu}$в уравнения Эйнштейна и решить результат для$h^{(2)}_{\mu\nu}$.
3. Повторяйте столько раз, сколько хотите.

Ведущий заказ

В ведущем порядке$\mathcal{O}(G_N^{1/2})$, мы нашли

$$\begin{equation} \hat{\mathcal{E}^{(1)}} h^{(1)}_{\mu\nu} = 0 \end{equation}$$ В калибровке де Дондера это уравнение принимает вид $$\begin{equation} \square h^{(1)}_{\mu\nu} = 0 \end{equation}$$ Это стандартное волновое уравнение, и оно имеет стандартные волновые решения. Если вы тщательно отслеживаете калибровочные условия и ограничения, вы в конечном итоге обнаружите, что есть два независимых решения, соответствующих$+$и$\times$поляризации.

Рядом с ведущим порядком

Теперь, когда мы решили это уравнение, переходим к следующему порядку.$\mathcal{O}(G_N)$для$h^{(2)}_{\mu\nu}$.

$$\begin{equation} \hat{\mathcal{E}^{(1)}} h^{(2)}_{\mu\nu} + \hat{\mathcal{E}^{(2)}}[h^{(1)}]h^{(1)}_{\mu\nu} = 0 \end{equation}$$ Мы можем преобразовать это уравнение как $$\begin{equation} \hat{\mathcal{E}^{(1)}} h^{(2)}_{\mu\nu} = T^{(\rm eff)}[h^{(1)}]_{\mu\nu} \end{equation}$$ где$T^{\rm eff}[h^{(1)}]_{\mu\nu}$— эффективный тензор энергии-импульса, зависящий от возмущения первого порядка$h^{(1)}_{\mu\nu}$. Следовательно, вы можете думать об энергии напряжения, связанной с гравитационными волнами, как об источнике поправки более высокого порядка к самой метрике. Это приводит к некоторым очень интересным явлениям, таким как нелинейная гравитационная память .

Существует важное предостережение относительно размышлений о$T^{\rm eff}[h^{(1)}]_{\mu\nu}$как реальный тензор энергии напряжения: он не является калибровочно-инвариантным . В частности, тензор энергии напряжений для гравитационных волн зависит от выбора координат. Следовательно, это не совсем тензор энергии-импульса (это всего лишь часть тензора Эйнштейна, которую мы переместили в правую часть). Часто физическое понимание, которое вы получаете, думая об этом термине как о тензоре энергии-импульса, перевешивает этот математический факт, но если вы не будете осторожны, это может привести к путанице.

Сказав это, как отметил @AndrewSteane в комментариях, вы можете получить калибровочно-инвариантный нелокальный тензор энергии-импульса, усредняя эффективный тензор энергии-импульса по области, состоящей из нескольких длин волн.

Что генерирует волны?

Ваш последний вопрос был таков: как могут быть волны, если ничто их не породило?

На самом деле эта ситуация не относится к гравитации. Математически дело в том, что решения уравнений движения уникальны только в том случае, если вы задаете асимптотические граничные условия. Если вы укажете, что метрика должна быть асимптотически плоской, то эти граничные условия исключат решения для плоских волн, и единственный способ получить ГВ — это иметь источник где-то в пространстве-времени (в этом случае$T_{\mu\nu}$не равен нулю). Однако математически можно рассмотреть более общие граничные условия, при которых плоские волны могут приходить из бесконечности и уходить в бесконечность. Физически вы можете думать об этом как об идеализации, когда наблюдатель живет в некоторой локальной системе отсчета и сталкивается с проходящей издалека гравитационной волной. Точно такая же ситуация может произойти в любой теории, описываемой волновым уравнением, например в электромагнетизме.

Более подробно вы можете заметить, что тензор кривизны$R_{\mu\nu\rho\sigma}$имеет 20 независимых компонентов в 4 измерениях, но уравнения Эйнштейна$G_{\mu\nu}=8\pi G_{N} T_{\mu\nu}$всего 10 уравнений, связывающих компоненты кривизны с тензором энергии-импульса. Так или иначе, дело в том, что есть компоненты кривизны, которые не фиксируются распределением материи. Эти компоненты могут быть записаны в терминах тензора Вейля . Тот факт, что тензор Вейля не фиксируется распределением материи, математически позволяет гравитационным волнам распространяться в пространстве-времени, даже когда$T_{\mu\nu}=0$.

Кто-то другой, вероятно, сможет ответить на этот вопрос более авторитетно и с лучшими техническими средствами, но вот мое приблизительное представление о том, что происходит. Я думаю, что у вас есть два отдельных набора вопросов, которые нужно решить в этой интерпретации.

Один набор проблем связан с тем фактом, что линеаризованная гравитация является неполной и непоследовательной. Например, линеаризованная гравитация не может описать связанные системы, поэтому она не может описать реалистичный источник, такой как две звезды, вращающиеся вокруг друг друга.

Другие проблемы возникают из-за того, как энергия представлена ​​в ОТО. ОТО (а) не имеет глобально сохраняющейся скалярной меры массы-энергии, применимой ко всем пространствам-временям, и (б) не имеет локальной меры энергии в гравитационном поле. Проблема а возникает из-за того, что энергия-импульс является вектором, и вы не можете сравнивать векторы, пришедшие из разных мест, кроме как посредством параллельного переноса, который зависит от пути. Вопрос б исходит из принципа эквивалентности. Из-за этих проблем не следует ожидать наличия локальной плотности энергии, такой как член тензора энергии-импульса, который представляет энергию гравитационных волн.

В асимптотически плоском пространстве-времени у нас есть различные сохраняющиеся меры полной массы-энергии пространства-времени, такие как энергия Бонди и энергия АДМ. Энергия ADM, например, действительно включает в себя энергию, излучаемую гравитационными волнами в нулевую бесконечность.

Простой способ убедиться в том, что гравитационные волны действительно несут энергию, представим себе, что они проявляются в экспериментах как приливные силы, точно такие же, как и любые другие приливные силы, например те, которые создают океанские приливы на Земле. Такие приливные силы, безусловно, способны совершать работу.