Какие дифференциальные уравнения моделируют самораспространяющуюся гравитационную волну в пространстве-времени?

Волновое уравнение для гравитационной волны (ГВ) исходит из уравнения поля Эйнштейна в общей теории относительности с линеаризованным приближением. Уравнение Эйнштейна изначально является нелинейным ДУ, но мы можем приблизить его к линейному. Установить показатель:

$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}, \; |h_{\mu\nu}| \ll 1$$

Вычислить символ Кристоффеля, тензор кривизны Римана и т.д. Эти вещи состоят из многих производных членов метрики, но мы рассматриваем только 1-й порядок$\mathcal{O}(h_{\mu\nu})$условия. Тогда уравнение Эйнштейна будет приведено к линейному ТЭ. (Я опускаю многие детали процесса, чтобы вывести волновое уравнение из уравнения Эйнштейна)

Малое возмущение метрики$h_{\mu\nu}$можно разложить на каждую составляющую$h_{00}, \; h_{0i}, \; h_{ij}$. Для простоты будем использовать только пространственную часть с поперечной колеей. Также предположим, что это вакуумный корпус. Затем DE уменьшается следующим образом:

$$\square h_{\mu\nu} = 0$$

где$h_{\mu\nu}$удовлетворяет$h_{0 \nu} = 0$(чисто пространственный),$\eta^{\mu\nu} h_{\mu\nu} = 0$(бесследный),$\partial_{\mu} h^{\mu\nu} = 0$(поперечный).

Общим решением этого ДУ является плоская волна.

$$h_{\mu\nu} = C_{\mu\nu} e^{i k_{\sigma} x^{\sigma}}$$

и$C_{\mu \nu}$будет иметь такую ​​форму. (предположим, распространяется на$z$направление)

$$C_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & C_1 & C_2 & 0 \\ 0 & C_2 & -C_1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Если мы восстановим неоднородный член в RHS,

$$\square h_{\mu\nu} \simeq 8 \pi G T_{\mu\nu}$$

тогда решение можно выразить с помощью функции Грина и времени задержки.

$$h_{\mu\nu}(t, \vec{x}) \simeq 8 \pi G \int \frac{1}{4\pi |\vec{x}-\vec{y}|} T_{\mu\nu}(t',\vec{y}) d^3 y$$

где$t = t' + |\vec{x}-\vec{y}|$

$\textbf{Edit}$

Вот краткий процесс линеаризации:

Термины в символе Кристоффеля заменены на$h_{\mu\nu}$вместо$g_{\mu\nu}$.

$$\Gamma^{\rho} _{\mu \nu} = \frac{1}{2} \eta^{\rho \lambda} (\partial_{\mu} h_{\nu \lambda} + \partial_{\nu} h_{\mu \lambda} - \partial_{\lambda} h_{\mu\nu} )$$

$O((h_{\mu\nu})^2)$членами порядка в тензоре кривизны Римана пренебрегают. Кроме того, тензор Риччи$R_{\mu\nu}$и скаляр Риччи$R$имеют и линейные формы.

$$R_{\mu\nu\rho\sigma} = \eta_{\mu\lambda} \partial_{[\rho,} \Gamma^{\lambda}_{\sigma],\nu} + O((h_{\mu\nu})^2)$$

Теперь поместите их все в уравнение Эйнштейна, тогда получится линеаризованная форма.

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} Rg_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}$$

$$\frac{1}{2} (\partial_{\sigma}\partial_{(\nu,} h^{\sigma} \; _{\mu)} -\partial_{\mu} \partial_{\nu} h - \square h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu} \partial_{\rho}\partial_{\sigma} h^{\rho \lambda} + \eta_{\mu\nu} \square h ) = 8\pi G T_{\mu\nu}$$

Некоторые избыточные члены могут быть удалены с помощью предположения о поперечной калибровке.

Свет как самораспространяющаяся волна в вакууме подчиняется свободным уравнениям Максвелла:

$$\nabla^aF_{ab}=0$$ Электрические и магнитные поля, демонстрирующие колебательное поведение, на самом деле являются компонентами тензора Максвелла.$F_{ab}$. Можно было бы спросить - а какие есть аналоги$F_{ab}$в ГР? Обратите внимание, что можно выразить вакуумные уравнения поля Эйнштейна$R_{ab}=0$как расходимость тензора Вейля: $$\nabla^aC_{abcd}=0$$ что очень похоже на свободные уравнения Максвелла. Существуют и другие представления этих вакуумных уравнений — например, в 2-спинорном формализме можно определить уравнение поля свободной нулевой массы покоя (zrm) для общего спина n/2, например, см. здесь . Однако, в отличие от свободного уравнения Максвелла, вакуумные уравнения Эйнштейна$\nabla^aC_{abcd}=0$не совсем линейны в$C_{abcd}$, так как оба соединения$\nabla^a$и$C^{abcd}$зависит от метрики$g_{ab}$. Решения таких нелинейных дифференциальных уравнений действительно трудно найти. Некоторые решения для точных плоских волн и сферических волн обсуждались здесь , здесь и т. д. Если мы рассматриваем малые возмущения фоновой метрики Минковского, то мы можем существенно линеаризовать вакуумные уравнения как $$\partial^aK_{abcd}=0$$ где$K_{abcd}$является линеаризованной римановой кривизной и является бесследовой (как и кривизна Вейля).$K_{abcd}$инвариантен относительно калибровочного преобразования линеаризованной метрики только при рассмотрении возмущений относительно метрики Минковского.

Если вас интересует полная нелинейная система, то дифференциальные уравнения, которые вам нужно решить, — это просто уравнения Эйнштейна в вакууме ($R_{\mu \nu} = 0$). Вам, вероятно, придется изучить дифференциальную геометрию, чтобы пойти дальше. В частности, записать это в терминах набора координат является тонкой проблемой, потому что в контексте дифференциальной геометрии само понятие координат отличается от того, что используется в большинстве других областей физики.

Тем не менее, была проделана некоторая работа над точными (нелинеаризованными) решениями для плоских волн. Краткое описание одного из таких решений можно найти в разделах 35.10–12 книги Misner, Thorne, & Wheeler's Gravitation . Более свежий обзор таких решений также можно найти в главе 24 книги « Точные решения уравнений поля Эйнштейна» Стефани и др. , хотя вам определенно понадобится некоторое знакомство с дифференциальной геометрией, чтобы понять, что там находится.