Насколько я понимаю, в контексте космологической теории возмущений метрику расширяют вокруг некоторой фоновой метрики (в данном случае метрики Минковского), такой, что
Учитывая это, мой вопрос в том, как получить обратную метрику ? Я читал в некоторых примечаниях (например , здесь , вверху страницы 2 и здесь , вверху страницы 4), что это дается
Один из особенно эффективных и быстрых способов записать это — записать метрику в виде , так что
Тогда мы просто используем расширение
что верно для матриц так же, как и для чисел. Искомый результат находится сразу, как и члены более высокого порядка.
Это относительно старый вопрос, на который нет формально полного ответа. Обнаружив, что мне нужна обратная метрика, и не имея возможности найти надлежащую трактовку в другом месте (при случайном просмотре), я решил изложить здесь надлежащую формальную трактовку.
Следуя изложенному здесь подходу, можно (супер-) легко вывести обратную метрику для всего порядка теории возмущений без использования специальных соотношений. Я организовал следующее в три этапа.
Шаг - 1: Правильная формулировка проблемы
Метрика, обратную которой мы собираемся определить, должна быть записана более формально:
Такой способ постановки проблемы существенно отличается от заявленного ОП в вопросе. Надеюсь, обозначения не нуждаются в пояснениях.
Шаг 2: И обратное
Запишем обратное как: b
Сначала отметим, что мы можем сжать фоновую метрику внутри скобок: . Далее, чтобы разобраться со скобками, как предложил Боб в другом ответе, мы используем биномиальное разложение:
И, через несколько шагов индексной гимнастики, получаем:
Мы все?
Шаг 3: Параметр расширения
Красота этого расположения заключается в следующей реализации:
Следовательно, чтобы получить полезное выражение для обратного выражения, мы должны расположить обратное по степеням .
Немного поработав, получаем следующие условия при заказе :
(Обратите внимание, что общий знак исходит из последнего уравнения на шаге 2)
Как должно быть очевидно при внимательном следовании приведенной выше обработке, окончательный ответ выглядит следующим образом:
Например, в гравитационно-волновой теории для построения тензора импульса псевдоэнергии в стиле тензора Исаксона вам действительно нужен возмущенный общий фон второго порядка. Так пусть будет Семейство one.parameter таким образом, что
поэтому для построения полной обратной метрики до второго порядка вам понадобится эта общая форма
подставляя количества, которые мы уже вычислили, вы получаете
Для вашей фоновой метрики Минковского:
Имеем, что возмущение можно записать в виде:
Мы также знаем, что в первом порядке:
Теперь мы хотим найти его ковариантную форму, которая выглядит так:
Теперь просто подставьте в это уравнение из других наших уравнений:
Отбрасывая член третьего порядка, получаем:
Теперь у меня есть коэффициент 2, отличный от вашей ссылки, который, я думаю, можно устранить, применив требование к общей метрике:
Р. Ранкин
пользователь35305