Пертурбативное разложение метрики и ее обратное

Один из особенно эффективных и быстрых способов записать это — записать метрику в виде$g=\eta+\kappa h$, так что

$$g^{-1}=(\eta+\kappa h)^{-1}=\eta^{-1}(\textbf{1}+\kappa h\eta^{-1})^{-1}$$

Тогда мы просто используем расширение

$$(\textbf{1}+\epsilon\textbf{A})^{-1}=\textbf{1}-\epsilon\textbf{A}+\epsilon^2\textbf{A}^2+\cdots,$$

что верно для матриц так же, как и для чисел. Искомый результат находится сразу, как и члены более высокого порядка.

Это относительно старый вопрос, на который нет формально полного ответа. Обнаружив, что мне нужна обратная метрика, и не имея возможности найти надлежащую трактовку в другом месте (при случайном просмотре), я решил изложить здесь надлежащую формальную трактовку.

Следуя изложенному здесь подходу, можно (супер-) легко вывести обратную метрику для всего порядка теории возмущений без использования специальных соотношений. Я организовал следующее в три этапа.

Шаг - 1: Правильная формулировка проблемы

Метрика, обратную которой мы собираемся определить, должна быть записана более формально:

$$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + \epsilon \ ^{(1)}h_{\mu\nu} + \frac{\epsilon^2}{2!} \ ^{(2)}h_{\mu\nu} + \cdots$$ Для дальнейшего удобства перенесем все возмущения в $H_{\mu\nu}$: $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + H_{\mu\nu}$$

Такой способ постановки проблемы существенно отличается от заявленного ОП в вопросе. Надеюсь, обозначения не нуждаются в пояснениях.

Шаг 2: И обратное

Запишем обратное как: b

$$g^{\mu\nu} = (g_{\mu\nu})^{-1}$$ $$= \eta^{\mu \alpha} \ (\delta{^\alpha_\nu} + \eta^{\alpha\beta}H_{\beta\nu})^{-1}$$

Сначала отметим, что мы можем сжать фоновую метрику внутри скобок:$H{^\alpha_\nu} = \eta^{\alpha\beta}H_{\beta\nu}$. Далее, чтобы разобраться со скобками, как предложил Боб в другом ответе, мы используем биномиальное разложение:

$$(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 -x^3 +\cdots$$

И, через несколько шагов индексной гимнастики, получаем:

$$g^{\mu\nu} = \eta^{\mu\nu} - H^{\mu\nu} + H^{\mu\rho}H{_\rho^\nu} - H^{\mu\rho}H{_\rho^\beta}H{_\beta^\nu} + \cdots$$

Мы все?

Шаг 3: Параметр расширения

Красота этого расположения заключается в следующей реализации:

$$H^{\mu\nu} \xrightarrow{\text{can only give rise to terms with}} \epsilon^1, \epsilon^2, \epsilon^3 \cdots$$ $$H^{\mu\rho}H{_\rho^\nu} \xrightarrow{\text{can only give rise to terms with}} \epsilon^2, \epsilon^3, \epsilon^4 \cdots$$ $$H^{\mu\rho}H{_\rho^\beta}H{_\beta^\nu}\xrightarrow{\text{can only give rise to terms with}} \epsilon^3, \epsilon^4, \epsilon^5 \cdots$$

Следовательно, чтобы получить полезное выражение для обратного выражения, мы должны расположить обратное по степеням$\epsilon$.

Немного поработав, получаем следующие условия при заказе$\epsilon^n$:

(Обратите внимание, что общий знак исходит из последнего уравнения на шаге 2)

1. $n=0$ $$\frac{1}{0!}(\eta^{\mu \nu}$$
2. $n=1$ $$\frac{1}{1!}(- h^{1\mu \nu})$$
3. $n=2$ $$\frac{1}{2!}(2 h^{1}{}_{a}{}^{\nu} h^{1\mu a} - h^{2\mu \nu})$$
4. $n=3$ $$\frac{1}{3!}( -6 h^{1}{}_{a}{}^{b} h^{1}{}_{b}{}^{\nu} h^{1\mu a} + 3 h^{1\mu a} h^{2}{}_{a}{}^{\nu} + 3 h^{1}{}_{a}{}^{\nu} h^{2\mu a} - h^{3\mu \nu})$$

Как должно быть очевидно при внимательном следовании приведенной выше обработке, окончательный ответ выглядит следующим образом:

$$g^{\mu\nu} = \eta^{\mu \nu} - \epsilon h^{1\mu \nu} + \tfrac{1}{2} \epsilon^2 (2 h^{1}{}_{a}{}^{\nu} h^{1\mu a} - h^{2\mu \nu}) + \tfrac{1}{6} \epsilon^3 (-6 h^{1}{}_{a}{}^{b} h^{1}{}_{b}{}^{\nu} h^{1\mu a} + 3 h^{1\mu c} h^{2}{}_{c}{}^{\nu} + 3 h^{1}{}_{d}{}^{\nu} h^{2\mu d} - h^{3\mu \nu})$$

Например, в гравитационно-волновой теории для построения тензора импульса псевдоэнергии в стиле тензора Исаксона вам действительно нужен возмущенный общий фон второго порядка. Так пусть будет$g_{ab}(\lambda)$Семейство one.parameter таким образом, что

$$g_{ab}(\lambda)=\tilde{g}_{ab}+\lambda h^{1}_{ab}+\frac{\lambda^2}{2!} h^2_{ab}$$ тогда ясно, что обратное будет дано $$g^{ab}\equiv(g_{ab}(\lambda))^{-1}$$ поэтому при первом заказе в$\lambda$нам нужно выполнить первую производную по параметру $$\frac{d}{d\lambda}(g_{ab}(\lambda))^{-1}\lvert_{\lambda=0}=-\tilde{g}^{ac}\tilde{g}^{bd}h^1_{cd}=-h^{ab}$$ таким же образом для второго порядка в$\lambda$вам нужна вторая производная $$\frac{d^2}{d\lambda^2}(g_{ab}(\lambda))^{-1}\lvert_{\lambda=0}=-\left(\frac{d}{d\lambda}(g_{ab}(\lambda))^{-2}\frac{d}{d\lambda}g_{ab}(\lambda)+(g_{ab})^{-2}\frac{d^2}{d\lambda^2}g_{ab}(\lambda)\right)\lvert_{\lambda=0}$$ где $$\frac{d^2}{d\lambda^2}g_{ab}(\lambda) = \frac{d}{d \lambda} (h^{1}_{ab} + 2 \cdot \frac{1}{2!} \lambda h^2_{ab}) = h^2_{ab}.$$ Поэтому $$\frac{d^2}{d\lambda^2}(g_{ab}(\lambda))^{-1}\lvert_{\lambda=0} =-\left( -2\tilde{g}^{af}\tilde{g}^{bg}\tilde{g}^{cd}h^1_{fc}h^1_{dg}+\tilde{g}^{ac}\tilde{g}^{bd}h^{2}_{cd} \right)$$ $$=2h^{1ac}h^{1b}_c-h^{2ab}$$

поэтому для построения полной обратной метрики до второго порядка вам понадобится эта общая форма

$$g^{ab}(\lambda)=g^{ab}(0)+\frac{d}{d\lambda}(g^{ab}(\lambda))\lvert_{\lambda=0}+\frac{1}{2}\frac{d^2}{d\lambda^2}(g^{ab}(\lambda))\lvert_{\lambda=0}$$

подставляя количества, которые мы уже вычислили, вы получаете

$$g^{ab}(\lambda)=\tilde{g}^{ab}-\lambda h^{1ab}+\lambda^2(h^{1ac}h^{1b}_c-\frac{1}{2}h^{2ab})$$ проверка, которую вы должны сделать, чтобы все было в порядке, например, проверка общего дельта-отношения с общей метрикой

$$g^{ac}(\lambda)g_{cb}(\lambda)=\delta^a_b$$

Для вашей фоновой метрики Минковского:

$$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+\kappa h_{\mu\nu}$$

Имеем, что возмущение можно записать в виде:

$$\delta g_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}-\eta_{\mu\nu}=\kappa h_{\mu\nu}$$

Мы также знаем, что в первом порядке:

$$g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-\kappa h^{\mu\nu}$$

Теперь мы хотим найти его ковариантную форму, которая выглядит так:

$$\delta g^{\mu\nu}=-g^{\mu\lambda}\delta g_{\lambda\rho}g^{\rho\nu}$$

Теперь просто подставьте в это уравнение из других наших уравнений:

$$=-\left(\eta^{\mu\lambda}-\kappa h^{\mu\lambda}\right)\left(\kappa h_{\lambda\rho}\right)\left(\eta^{\rho\nu}-\kappa h^{\rho\nu}\right)$$

Отбрасывая член третьего порядка, получаем:

$$=-\kappa h^{\mu\nu}+\eta^{\mu\lambda}\kappa h_{\lambda\rho}\kappa h^{\rho\nu}+\kappa h^{\mu\lambda}\kappa h_{\lambda\rho}\eta^{\rho\nu}$$

$$=-\kappa h^{\mu\nu}+\kappa h_{\rho}^{\mu}\kappa h^{\rho\nu}+\kappa h^{\mu\lambda}\kappa h_{\lambda}^{\nu}\eta$$ Поскольку метрика должна быть симметричной, то и возмущение должно быть симметричным, следовательно, мы можем написать:

$$\delta g^{\mu\nu}=-\kappa h^{\mu\nu}+2\kappa h_{\rho}^{\mu}\kappa h^{\rho\nu}$$

Теперь у меня есть коэффициент 2, отличный от вашей ссылки, который, я думаю, можно устранить, применив требование к общей метрике:

$$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=\delta_{\mu}^{\mu}$$ Но я думаю, что вы поняли Идею, это процесс, который становится невероятно утомительным с каждым более высоким уровнем. Ваше здоровье!! (: