Расстояние от Земли до Солнца в определенный день года

$$1- 0.01672*\cos(0.9856*(\text{day}-4))$$

Это приблизительное выражение. Срок за сроком,

• $1$
  Среднее расстояние между Землей и Солнцем составляет примерно одну астрономическую единицу.

• $0.01672$
  Это эксцентриситет Земли относительно Солнца.

• $\cos$
  Это, конечно, функция косинуса, но с аргументом в градусах, а не в радианах.

• $0.9856$
  Это$360/365.256363$, где$360$это число градусов в полном обороте и$365.256363$- продолжительность звездного года в средних солнечных днях.

• день
  Это номер дня в году. Поскольку это приблизительное выражение, не имеет значения, начинается ли первое января с нуля или с единицы.

• 4
  В настоящее время Земля достигает перигелия между четвертым и шестым января, в зависимости от года.

---

Так откуда такое приближение? Если бы орбита Земли была кеплеровской орбитой вокруг Солнца (а это не так), расстояние между Землей и Солнцем определялось бы современной версией первого закона Кеплера:

$$r = a\frac{1-e^2}{1+e\cos\theta}$$ где $r$это расстояние между Землей и Солнцем, $a$- длина большой полуоси орбиты Земли, $e$- эксцентриситет орбиты, $\theta$угол, образуемый Солнцем между линией большой полуоси и текущим положением. (Другими словами, истинная аномалия).

Мы перешли от использования Солнца для измерения времени к часам несколько сотен лет назад. Фактически, Кеплер был одним из первых, кто сказал, что часы, а не Солнце, являются надлежащей мерой времени. Это означает, что использование дней вместо тэты не совсем правильно. Наши дни — это мера средней аномалии, а не истинной аномалии. Для нашей орбиты с низким эксцентриситетом разница между ними составляет менее 20 минут. (Эта разница является частью уравнения времени.) Использование номера дня в качестве замены истинной аномалии является разумным приближением истинной аномалии, если мы делим на количество дней в сидерическом году. Если функция косинуса принимает градусы в качестве аргумента, нам нужно умножить на 360. Следовательно, 0,9856 ($360/365.256363$).

Следующее используемое приближение состоит в том, что$\frac1{1+x} \approx 1-x$для малых значений х. Это приводит нас к

$$r=a(1-e^2)(1-e\cos\left(0.9856\,\text{day#}\right))$$ Далее нам нужен номер дня, где нулевой день обозначает время прохождения перигелия. Это довольно просто. В настоящее время Земля достигает перигелия около четвертого января или около того. Наконец, нам нужно значение для $a(1-e^2)$. Это около единицы, если расстояние выражается в астрономических единицах. Окончательный результат $$r=1-0.01672\,\cos\left(0.9856\,(\text{day-4})\right)$$

Делаются аппроксимации:

1. Орбитальная скорость Земли остается неизменной: угол между Землей и перигелием Земли.$\theta$постоянно увеличивается.
2. Эксцентриситет достаточно мал, чтобы эллипс можно было аппроксимировать$r=a(1-e \cos\theta)$.

Земля находится в своем перигелии 4 января, а ее эксцентриситет равен 0,0167, поэтому данную формулу можно вывести, как уже ответил Хаммен.

Но если вы хотите более точно рассчитать расстояние между Землей и Солнцем в любую данную эпоху, вам нужно найти уравнение Кеплера . Это можно получить, используя законы движения планет Кеплера или просто решив задачу с двумя телами : это все равно будет приближением, но гораздо более точным, чем то, что указано в вашем вопросе.