Характеристики формы гравитационных колодцев при различной массе и разбросе объектов

Вопрос немного открытый, так что это скорее введение в тему, чем общий ответ, поскольку полный ответ включает как теорию потенциала , так и общую теорию относительности .

Если мы начнем с гравитационных колодцев в классической механике, они будут иметь простой вид для точечных масс:

$$U(r)=-\frac{GM}{r}$$ где$r$это расстояние от точки. Они определены везде, но точка в$r=0$, и растягиваться до бесконечности (где потенциал равен нулю).

Если у вас есть несколько точечных масс, их потенциалы просто складываются:

$$U(x)=-G\sum_i \frac{M_i}{d_i}$$ где$M_i$это масса$i$частица и$d_i$расстояние до точки$x$где измеряется потенциал.

Точно так же можно анализировать непрерывные распределения масс, интегрируя вклад бесконечно малых частиц:

$$U(x) = -G\int_{t\neq x} \frac{\rho(t)}{|x-t|} dt$$ где$\rho(t)$плотность массы в точке$t$. Интеграл проходит по всему пространству, кроме$x=t$. Таким образом можно (приложив некоторые усилия) рассчитать гравитационное поле вокруг сферических тел, колец, плоскостей и т.д.

Одним из ключевых результатов является оболочечная теорема Ньютона: если у вас есть сферически-симметричное распределение масс, потенциал зависит только от расстояния до центра (он тоже сферически-симметричен). Кроме того, нет гравитационной силы от массовых оболочек за пределами точки, от которой вы измеряете: они по-прежнему вносят вклад в потенциал, хотя в центре Земли вы были бы невесомы, но имели бы довольно низкий потенциал. Не имеет значения, насколько плотно тело, если вы находитесь вне его, вы будете чувствовать только потенциал, зависящий от общей массы.

Это также объясняет ваш вторичный вопрос о Солнце как о красном гиганте. Причина, по которой Земля, как ожидается, немного свернется по спирали, заключается в том, что Солнце начнет терять массу из-за сильного солнечного ветра, а не в том, что плотность уменьшится.

Далее можно найти и другие способы расчета потенциалов. Закон Гаусса очень полезен. В нем говорится, что гравитационная сила при интегрировании вокруг произвольной замкнутой поверхности пропорциональна массе внутри:$\int\int_S g\cdot dA = -4\pi G M$. Обратите внимание, как это влечет за собой теорему об оболочке. Можно продифференцировать это, а затем прийти к уравнению Пуассона

$$\nabla^2 U = 4\pi G\rho.$$ Потенциалы в пустом пространстве, где$\rho=0$следует уравнению Лапласа $$\nabla^2 U =0$$ -- они являются предметом теории потенциала и иногда называются гармоническими функциями.

Для описания их формы можно использовать тот факт, что если$U_1$и$U_2$два потенциала, которые решают уравнение Лапласа, то$U_1+U_2$тоже решает. Таким образом, можно сложить вместе простые потенциальные решения (как и в случае с точечной частицей), чтобы построить более сложные. Существует обширная математическая теория того, как это сделать. Для гравитации обычно важны разложения по мультипольным моментам , выраженным в сферических гармониках . Поскольку большинство массовых распределений представляют собой примерно сферические капли, эти комбинации обычно дают точные результаты с небольшим количеством членов. В частности, они легко справляются с искажениями от сплюснутого тела (потенциал немного сжат вблизи тела) или с более сложными вещами, такими как бугристость Земли . Когда у вас есть потенциал, вы можете, например, рассчитать, как это влияет на орбиты спутников.

Одним из важных результатов является то, что гармоники более высокого порядка затухают быстрее с$r$чем$1/r$. Они меньше влияют на дальние участки потенциала. Кубическая планета будет иметь несколько кубическое поле вблизи поверхности, но дальше оно будет почти как сфера (см. эту статью , хотя они не используют гармонический метод).

За этим стоит общая теория относительности. В ОТО точно нет гравитационного потенциала (часть работы выполняет метрический тензор), хотя для слабых полей можно аппроксимировать классический и вычислить гравитационное замедление времени . Существует также аналог теоремы о оболочках .