Мы знаем, что длина вектора не зависит от выбранной нами системы координат. Это всегда то же самое. Но остается ли это верным, когда мы добавляем дополнительные измерения в нашу систему координат? Пока логически мы не переживаем, например, четыре или пять измерений, какая математика доказывает, что длина одинакова во всех системах координат с измерениями больше трех?
Не уверен, что понял ваш вопрос, но я постараюсь ответить на него. Предположим, у нас есть произвольное количество измерений . Тогда длина вектора в этом -мерное пространство задается -норма:
Если бы у нас было пространство меньшего размера, с меньшим количеством измерений, скажем, , то у нас все равно было бы то же самое -норма, но где сумма доходит только до . Все векторы в меньшем пространстве имеют только (или не более) ненулевые компоненты.
Теперь мы вставляем это меньшее пространство в исходное пространство с -размеры. Другими словами, мы добавляем размеры. Поэтому нам нужно использовать оригинал -норма с компонентов, а потому, что только этих компонент отличны от нуля, выражение для длины векторов сводилось бы к выражению для -мерное пространство. Следовательно, длина векторов остается прежней, несмотря на то, что мы добавили дополнительные измерения.
УКХ