Разница между амплитудой рассеяния и длиной рассеяния

Что касается вашего первого вопроса, то прошедшая плоская волна не подвергается никакому рассеянию от потенциала. Это становится явным благодаря представлению рассеянной волновой функции в виде суммы падающей плоской волны и уходящей сферической волны. Таким образом, прошедшая волна ничего не может сказать нам о событии рассеяния. Вся эта информация содержится в исходящей сферической волне.

Что касается второго вопроса, то ваша физическая интуиция верна. Заменив$f(\theta, \phi) = -b$мы явно взяли предел низкой энергии и предположили, что для этого процесса важен только канал s-волны. Представьте, что у вас есть потенциал рассеяния с вращательной симметрией, затем разложите амплитуду рассеяния с точки зрения парциальных волн.

$$f(\theta) = \sum_{l=0}^\infty(2l+1)f_l P_l(\cos{\theta}),$$ вы можете видеть это, если $f(\theta) = -b$тогда у нас должно быть $f_0 = -b$и $f_l = 0, \ l>0$(напомним, что многочлены Лежандра ортогональны, поэтому они должны обращаться в нуль здесь почленно, а не просто как сумма). Если бы мы хотели включить более высокие парциальные волны, то в амплитуде рассеяния должны были бы быть некоторые несферически симметричные члены.

В общем случае необходимо задавать длину рассеяния для каждой парциальной волны отдельно. Если мы допустим длину рассеяния s-волны равной$a_s$и пренебречь всеми высшими парциальными волнами, но не брать предел энергии 0, тогда

$$f(k) = \frac{1}{k\cot{\delta_s(k)}-ik} \approx \frac{1}{-\frac{1}{a_s}-ik}.$$ Полное расширение для $$k \cot{\delta_s(k)} = -\frac{1}{a_s} + \frac{1}{2} r_s k^2 + \mathcal{O}(k^4)$$ известно как расширение эффективного диапазона. Вы можете видеть, что для $k \to 0$вы восстанавливаете приведенные вами выражения для амплитуды рассеяния и полного поперечного сечения.