Разрядка конденсатора через резистор и светодиод последовательно

Я не читал весь ваш вопрос, который, казалось, старался изо всех сил усложнить простую вещь. Насколько я понимаю, у вас есть последовательно соединенные конденсатор, резистор и светодиод, и вы хотите знать, как все распадается, если конденсатор изначально заряжен.

При первом приближении можно считать светодиод источником напряжения. Это означает, что ток будет затухать так же, как если бы светодиода не было, а крышка была заряжена до напряжения светодиода меньше, чем было на самом деле. Теперь это простая RC-система, которая следует основному экспоненциальному затуханию с постоянной времени RC, что, кажется, вы уже понимаете. Вопрос о том, когда светодиод гаснет, сводится к тому, при каком токе вы считаете, что яркость достаточно низкая, чтобы погаснуть. Это может сильно различаться в зависимости от эффективности светодиода, уровня окружающего освещения и того, насколько очевидным должно быть «включение». Например, если цоколь изначально заряжен так, что начальный ток составляет 20 мА (общий максимум для светодиодов), и вы считаете 1 мА уровнем «выключения», то время включения будет равно времени затухания 95%, что составляет 3,0 постоянные времени.

Как я уже сказал, это было основное первое приближение, когда на светодиод подается фиксированное напряжение. Это будет в значительной степени верно, но, конечно, его напряжение будет несколько падать с током. Для практических целей это небольшой эффект по сравнению с неумелостью принятия решения о том, какой уровень тока «выключен» на самом деле, если только этот ток не мал, например, менее мА.

Ответ Олина расскажет вам, как бы вы подумали об этом в реальном мире. Но вы представили это как задачу по алгебре, поэтому я отвечу с точки зрения математического анализа задачи.

Во-первых, давайте нарисуем схему, чтобы мы могли быть уверены, что говорим об одном и том же:

Я обозначил один из узлов схемы как землю, а два других обозначил как «1» и «2», чтобы мы могли говорить, например, о U ₁ и U ₂ и знали, о чем мы говорим. Я буду определять ток через контур цепи как положительный, когда он течет по часовой стрелке, из конденсатора и через диод от анода к катоду.

Теперь вы можете настроить уравнения, как вы предложили:

Во-первых, как вы предложили,

(а)$\dfrac{dU_1(t)}{dt} = -I(t) / C$

Тогда для резистора

(б)$I(t) = \dfrac{1}{R}(U_1(t) - U_2(t))$,

Наконец, для диода, используя уравнение диода Шокли,

(с)$I(t) = I_s(\exp(\dfrac{U_2(t)}{nV_T}) - 1)$.

Здесь I _s и n — параметры самого диода.

Как вы обнаружили, у этих уравнений нет решения в закрытой форме. Подобные уравнения обычно «решаются» с помощью численного интегрирования. Самый известный метод решения этого типа уравнений известен как « интегрирование Рунге-Кутты четвертого порядка ».

Конечно, вам не нужно писать свой собственный решатель Рунге-Кутта для решения этой задачи, вы можете просто настроить схему в программе анализа, такой как LTSpice, которая уже включает именно этот тип решателя.