Релятивистская кинетическая энергия не имеет верхней границы, так почему же существует радиус Шварцшильда?

Если применить классическую механику к точечной частице с большой массой$M$и еще одна точечная частица с малой массой$m$такой, что$m << M$, мы находим (используя закон Ньютона для гравитации), что потенциальная энергия$U$системы задается$U = -\frac{GMm}{R}$. Частица улетает, когда полная энергия (кинетическая + потенциальная) равна нулю, поэтому скорость убегания$v$должен быть предоставлен

$$v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$ А для этого мы предположили, что кинетическая энергия определяется выражением$\frac{mv^2}{2}$. Если мы хотим, чтобы скорость убегания была$c$, у нас будет$c = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$, поэтому: $$R = \frac{2GM}{c^2}$$ Отсюда следует, что горизонт событий имеет радиус$R = \frac{2GM}{c^2}$.

Я полагаю, что ваш вопрос основан на аргументе выше. Вы хотели исправить аргумент, введя релятивистскую кинетическую энергию. Затем вы обнаружили, что кинетическая энергия не имеет верхней границы и может принимать любое положительное значение, а это, по-видимому, противоречит нашему результату.

В чем проблема? Что ж, приведенный выше аргумент ошибочен и в корне неверен. Несколько моментов:

• Мы использовали классическую формулу потенциальной энергии. Это означает, что наше поле ньютоновское, а ньютоновские гравитационные поля нарушают теорию относительности. Релятивистская гравитация должна изучаться с использованием общей теории относительности.

• В классической механике нет верхней границы потенциальной энергии, поскольку законы Ньютона допускают наличие частицы с ненулевой массой.$m$иметь любую скорость. Это также нарушает теорию относительности, но следует отметить, что и теория относительности, и классическая механика предсказывают, что кинетическая энергия может иметь сколь угодно большие значения. Мы не можем просто сказать: « О, Относительность говорит$v < c$, то классическая кинетическая энергия имеет верхнюю границу$\frac{mc^2}{2}$", это не имеет никакого смысла.

• Поскольку кинетическая энергия не ограничена верхним пределом, классическим или каким-либо иным, весь аргумент разваливается.

Но если весь аргумент неверен, то почему он дает правильную формулу для радиуса Шварцшильда?

Ну, это просто совпадение. Вывод совершенно неверный, но он действительно, по совпадению , дает правильный ответ.

Тогда как на самом деле получается радиус Шварцшильда? Как мне релятивистски изучать эту гравитационную систему?

Что ж, вот где в дело вступает Общая теория относительности. Ваша попытка создать релятивистские поправки к гравитационному полю терпит неудачу, и правильный способ сделать это — использовать общую теорию относительности. В этом случае, учитывая полный вакуум, отсутствие вращения и электрический заряд, вы должны искать решение Шварцшильда уравнений общей теории относительности Эйнштейна. Найдите метрику Шварцшильда. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric )

Используя общую теорию относительности и метрику Шварцшильда, мы находим тот же результат для радиуса Шварцшильда, что и классический вывод, показанный выше, но это просто совпадение.

Например, мы могли бы изменить сценарий: сделать массу$M$иметь некоторый размер и пусть он вращается. На этот раз классическая механика дает тот же радиус горизонта событий, но на самом деле ответ другой. ( https://en.wikipedia.org/wiki/Керр_метрика )

Как упоминалось в комментариях, мотивация определения радиуса Шварцшильда не имела ничего общего со скоростью убегания. Именно на расстоянии от центрального тела метрика Шварцшильда, выраженная в координатах Шварцшильда, становится сингулярной. Для обычных небесных тел это не имеет значения, так как радиус лежит внутри тела (для Солнца это 3,0 Км), поэтому решение Шварцшильда там применимо не (предполагалось, что оно применимо к сферически-симметричной области пустого пространства), а позже люди начали предполагать существование тел настолько плотных, что радиус Шварцшильда на самом деле оказывается в пустом пространстве, и поэтому он начал приобретать значение. Случайно оно совпадает с расстоянием, найденным Джоном Мичеллом в 18 веке, где скорость убегания совпадает со скоростью света.

Вы можете записать энергию, включая кинетическую и потенциальную части общей теории относительности, как:

Это также можно записать как:

($\hat{r}=\bar{r}/r,\hat{v}=\bar{v}/v$)

Как здесь написано, вы на самом деле видите, что вам нужна бесконечная энергия, чтобы вообще двигаться в радиусе Шварцшильда$r=2GM/c^2$. Вы также можете видеть, что энергия покоящегося тела на радиусе Шварцшильда становится равной нулю. Это все для случая сферически-симметричного гравитационного поля.

Существует радиус Шварцшильда, потому что выражение для энергии выглядит так, как показано выше, - это один из способов взглянуть на него.