Релятивистская центростремительная сила

Мне случайно пришла в голову мысль, что круговой ускоритель частиц должен прикладывать большую силу, чтобы поддерживать кривизну траектории . Многие ускорители перемещают частицы с полностью релятивистскими скоростями, и я хочу спросить, как это влияет на вещи.

Почему это важно? Ну, если я правильно понимаю, частица в БАК движется со скоростью 0,999 с было бы гораздо труднее продолжать двигаться по кругу, чем частице, движущейся со скоростью 0,99 с . Читая Википедию, я был рад найти полностью конкретизированную проблему в одном абзаце.

http://en.wikipedia.org/wiki/Большой_адронный_коллайдер

БАК находится в туннеле окружностью 27 километров (17 миль) и глубиной 175 метров (574 фута) под франко-швейцарской границей недалеко от Женевы, Швейцария. Его синхротрон предназначен для столкновения встречных пучков частиц либо протонов с энергией до 7 тераэлектронвольт (7 ТэВ или 1,12 микроджоуля) на нуклон, либо ядер свинца с энергией 574 ТэВ (92,0 мкДж) на ядро ​​(2,76 ТэВ на нуклон).

Я могу (или Google может) рассчитать случай протона, чтобы прийти к 0,999999991 с . Чтобы правильно рассчитать силу, с которой БАК должен воздействовать на него, нужно ли начинать с Ф знак равно д п / д т , или я могу обойтись в 2 / р раз больше релятивистской массы? Я не совсем уверен, как сделать первое.

Вопрос: Скажем, у меня есть 2 протона, оба движутся так быстро, что движутся почти со скоростью света, но у одного энергия вдвое больше, чем у другого. Они движутся бок о бок и входят в электрическое или магнитное поле, которое заставляет их ускоряться перпендикулярно вектору скорости. Является ли радиус кривизны в основном одинаковым для них двух или он отличается большим фактором (например, 0,5x, 1x или 2x)?

Я хочу прочитать некоторые комментарии от людей, которые хорошо разбираются в этой физике. Частицы за пределами определенной энергии движутся почти с одинаковой скоростью. Я все еще могу сказать, что у них тоже такое же «ускорение»? Просто у них абсурдно огромная инерция по сравнению с той же частицей, движущейся с более скромной долей скорости света. Это правильная точка зрения?

Я думаю, что если вы хотите провести расчеты для одного протона, вам, вероятно, понадобится около 4 векторов. Я знаю, что есть некоторые странные эффекты, связанные с релятивистским круговым движением. Его можно аппроксимировать множеством небольших перпендикулярных лоренцевских усилений. это выше моего понимания, но это отличный вопрос

Ответы (2)

Поскольку мы используем магнитные поля для искривления пути частиц в ускорителях, а E&M является лоренц-инвариантным по своей конструкции, мы просто применяем радиус изгиба в уравнении магнитного поля в лабораторной системе координат и никогда не утруждаем себя вычислением силы. Радиус кривизны

р знак равно п д Б .

Обратите внимание, что для кольца, подобного LHC, изгиб на самом деле не является однородным, а только в изгибающих магнитах, но не в квадруполях или полостях (если они есть), поэтому локально он более тугой, чем вы могли бы получить, наивно применяя приведенное выше уравнение. радиусом 27 миль.

Если вы настаиваете на поиске силы, вы заметите, что в течение одного цикла импульс изменяется на 2 π | п | , и это занимает ( 27  км ) / с секунд, чтобы добраться туда, поэтому средняя сила равна

Ф знак равно п с р знак равно 2 π п с 27 К м .

Опять же, в любом данном магните он будет больше менее чем в 10 раз, потому что магниты не покрывают всю линию луча.

Кстати: если вы потратите много времени на изучение физики элементарных частиц, вы полюбите ультрарелятивистскую механику: она даже проще, чем нерелятивистская механика.

Хороший Ф уравнение. Если что-то "ультрарелятивистское", то могу ли я сказать Е знак равно п с ? В этом случае физическая картина почти до глупости проста. На БАК они посылают протоны «пакетами», верно? Если бы у вас было 2 разных энергии, им пришлось бы управлять 2 разными электронными сигналами (через сверхпроводящие магниты), даже если ультрарелятивистской частице потребовалась бы почти вечность, чтобы обойти другую ультрарелятивистскую частицу? Это дико!
Это Е 2 знак равно ( п с ) 2 + ( м 0 с 2 ) 2 . Я думаю, м 0 с 2 становится незначительным в какой-то момент (хороший обмен ролями, обычно бывает наоборот!). Тогда вы получите Е знак равно п с .
Ага, Е знак равно п с (также известный как безмассовая частица) довольно распространен в физике высоких энергий.
У тебя вышло. Масса протона составляет около 1 ГэВ, поэтому, когда энергии пучка находятся в масштабе ТэВ, масса становится незначительной. Электроны имеют массу около 1/2 МэВ, поэтому ею можно пренебречь при энергиях пучка в ГэВ и так далее.
@dmckee я не вижу, где 2 π происходит от. Для ультрарелятивистских частиц с постоянной скоростью Ф знак равно д п / д т знак равно γ м ( д в / д т ) знак равно γ м в 2 / р знак равно γ м с 2 / р знак равно п с / р .
@MarkH 2 π входит, когда вы делаете один полный круг (обратите внимание, что 27 километров - это длина окружности). Это было давно, но я подозреваю, что написал их в то время, когда я только что занимался центростремительной силой для своего класса физики в колледже (то есть без исчисления), для которого мы используем несколько причудливый аргумент, который включает в себя набросок круга в пространстве скоростей. так что им не нужны производные.
@dmckee Да, я забыл, что 27 км — это длина окружности, а не радиус. хлопает по лбу
Я просто хотел указать в качестве комментария, что первое уравнение действительно верно релятивистски, даже если оно не выглядит таковым на первый взгляд; это появилось в связанном вопросе . Релятивистское выражение для силы Лоренца имеет вид д п ∙ / д т знак равно γ   д   ( в → ⋅ Е → / с ,   Е → + в → × Б → ) а собственное ускорение для движения по окружности равно α знак равно γ 2   в 2 / р ведущий к м 0 γ 2   в 2 / р знак равно γ   д   в   Б , так р знак равно γ   м 0   в / ( д   Б ) .
В первом ответе выше предполагается, что 𝛾 постоянна. Но как насчет спина частицы и результирующего магнитного момента? Поскольку скорость вдоль направления магнитного поля будет увеличиваться при наличии магнитного момента, 𝛾 может увеличиться. Не усложнит ли это дело?

Я не тот, кто хорошо разбирается в физике, поэтому я не уверен в этом на 100%. Комментарии по этому поводу будут очень признательны. (Обновление: этот подход кажется правильным)

F=dp/dt работает так же, как и в 2 / р . Пока вы хотите вращать его с постоянной скоростью, ваш фактор Лоренца будет постоянным, и, поскольку п знак равно γ м 0 в , ваша сила станет м 0 γ д в → / д т . Затем вы можете решить его обычным образом, используя векторы (точно такое же доказательство, как и классическое для CPF). Ваш конечный результат будет γ м 0 в 2 / р .

При работе с ускорениями, вызванными силами, снова используйте Ф знак равно д ( γ м 0 в ) / д т . Если м 0 постоянна, то получаем Ф знак равно м 0 а ( 1 − в 2 с 2 ) 3 2 знак равно γ 3 м 0 а . Так как у нас все еще есть γ , ускорения будут сильно отличаться.

Таким образом, если протон имеет вдвое большую энергию, чем другой, протон имеет вдвое большую γ (из Е знак равно γ м 0 с 2 ). Значит, ускорение будет в восемь раз меньше.

Это не совсем мнение, если вы подкрепите его уравнениями... FWIW это выглядит так, как будто это может быть правильно.
Это правильный подход, но нет смысла вычислять в вообще. Просто используйте производную импульса по времени.
@dmckee Где именно я не должен вычислять v? Я не вижу места, где я его вычислил, я просто разделил термины импульса, чтобы получить ускорение.
@dmckee Если вы говорите о радиусе кривизны, я не использовал р знак равно п / д Б поскольку я сам не был уверен, применимо ли это. Ведь формула выведена с помощью классического Ф знак равно м а . Выходит, применимо , надо было просто вывести (частично, чтобы себя убедить).
@DavidZaslavsky Да, но у каждого уравнения есть предел применения. Например, нельзя применить обычные формулы замедления времени для ускоряющихся тел. Точно так же, используя векторный подход, чтобы доказать, что CPF знак равно в 2 / р может иметь какой-то недостаток. Я не люблю давать неправильные ответы, поэтому я отметил это как «мнение» (да, здесь неудачный выбор слов =P).
@Manishearth: да, может быть, мне не следует быть таким придирчивым к этому, но я действительно предпочитаю видеть слово «мнение» зарезервированным для вещей, которые на самом деле являются мнениями, то есть на переднем крае физики, где достаточно двусмысленности, которую вы не можете окончательно решать вещи, основанные на математике. Я думаю, лучше сказать: «Я не уверен в этом на 100%, но…». (Это я говорю как обычный старый пользователь сайта, а не как модератор, поэтому не обязан следовать этой рекомендации.)
@DavidZaslavsky В любом случае, то, что вы говорите, имеет смысл. Я изменил его.
Этот результат кажется мне очень странным: если у нас есть равномерное движение, мы получаем только один γ , но как только мы добавим бесконечно малое ускорение, мы получим два дополнительных γ с? Это очень подозрительно.
Ускорения всегда связаны с силами. Ваше выражение силы с участием γ 3 для ускорения, параллельного скорости частицы. Первоначальный спрашивающий спрашивал только об ускорении, перпендикулярном скорости.
Релятивистская центростремительная сила
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v