Роль степенных законов в астрономии?

Масштабная инвариантность и самоподобие

Степенные законы в основном означают, что предпочтительного масштаба нет, т. е. что физическое свойство является масштабно-инвариантным . Любое отклонение от степенного закона означает, что Вселенная каким-то образом думает, что шкала, на которой она нарушается, имеет какое-то особое значение. Другими словами, степенной закон описывает самоподобие$^\dagger$.

Вы можете увидеть это математически, рассмотрев масштабирование независимой переменной$x$в степенном законе$y(x)=x^n$постоянным коэффициентом$\lambda$; результат - просто масштабирование зависимой переменной другим фактором

$$y(\lambda x) = (\lambda x)^n = \lambda^n x^n = \lambda^n y.$$

Конечно, ничто не бесконечно самоподобно, но многие процессы в определенной степени таковы. И если у вас есть процесс, который зависит от многих подпроцессов, которые сами описываются степенными законами в некоторой области, результат также будет развиваться в сторону степенного закона.

Степенные законы в астрономии…

В астрономии вы часто видите, что степенные законы являются хорошим описанием некоторого отношения до определенного масштаба, после которого вы видите «экспоненциальное отсечение», т.е. где отношение переходит к более крутому экспоненциальному.

Ярким примером этого является функция масс гало (ГМФ) структур во Вселенной, где распределения масс (гало темной материи) хорошо описываются степенным законом от наименьших масс до «характеристической» массы, после чего числовая плотность объекта быстро уменьшается с массой ( Press & Schechter 1974 ). Фактически, многие отношения в астрономии можно проследить до этого иерархического формализма, который берет свое начало в предположении, что сверхплотности распределены по Гауссу. Масштабирование соотношений между массами, размерами, темпами звездообразования, светимостью, механизмами обратной связи и т. д. затем приводит к новым степенным законам.

Предполагая постоянное отношение массы к свету$M/L$галактик, функция светимости (LF) галактик должна близко следовать за MF. Однако наблюдательно мы обнаруживаем, что LF подавляется как при более высоких, так и при более низких масштабах массы, чем характерная масса. Считается, что причиной является обратная связь, предотвращающая звездообразование за счет нагревания газа и/или выталкивания его из галактики; на конце с большой массой у вас есть мощные активные галактические ядра (АЯГ), в то время как на конце с малой массой, где гравитационный потенциал меньше, звездная активность может выполнять эту работу.

^{Прогнозируемый LF, предполагающий Jenkins et al (2001) с постоянной$M/L$(голубой), и наблюдается$K$полоса НЧ (желтая). Рисунок из Benson et al. (2003) с моими комментариями.}

Млечный Путь, оказывается, довольно близок к такой характерной массе и светимости, поэтому иногда можно услышать, что Млечный Путь — «типичная» галактика.

LF обычно описывается функцией Шехтера . Однако в последние годы мы видим доказательства того, что экспоненциальное отсечение является слишком резким, и что конец с большой массой может быть лучше описан другим степенным законом, хотя и с крутым индексом, т. е. так называемым нарушенным степенным законом . (см., например, Oesch et al. 2018 ).

…и вообще в природе

Степенные законы распространены не только в астрономии, но и во всей природе, и даже в «искусственных» условиях, таких как лингвистика (наличие слов в языке), экономика (например, распределение доходов) и социология (например, размеры городов). .

В некоторых случаях причина может быть связана с тем, что даже нестепенные законы часто ведут себя как степенные законы на ограниченных интервалах. Другие функции, встречающиеся в природе, такие как$\exp(x)$и$\sin(x)$, может быть разложена по Тейлору, и вблизи «критических точек» преобладает первый член.

На самом деле я не уверен, что причина повсеместного распространения степенных законов в природе полностью понятна. Я думаю, вы можете объяснить это во многих случаях, но не в целом. Один пример, который может быть объяснен математически, состоит в том, что если стохастические процессы с экспоненциальным ростом ожидания «уничтожаются» (или наблюдаются) случайным образом, то распределение убитого или наблюдаемого состояния демонстрирует степенной закон поведения в одном или обоих хвостах ( Рид и Хьюз, 2002 г. ).

Но будьте осторожны!

Тем не менее, я думаю, что иногда существует тенденция предполагать зависимость между переменными по степенному закону, когда ни одна из них не обязательно ожидается. Степенной закон представляет собой линейную зависимость, если вы возьмете логарифм обоих$x$и$y$, и, вероятно, тот факт, что отклонения от некоторого отношения подавляются на графике логарифмических логарифмов, иногда слишком привлекателен…

---

$\dagger$_{Справедливости ради следует отметить, что масштабная инвариантность и самоподобие — это не совсем одно и то же, поскольку первое описывает непрерывное масштабирование, а второе включает дискретное масштабирование, такое как фракталы, которые идентичны сами себе только на определенных шагах и в определенных областях.}

Должен признать, что степенные законы (вообще) раньше были моей фишкой , поэтому я счастлив пролить свет на их общую важность в физике, которая, очевидно, справедлива и для астрономии.

Основная идея степенного закона прекрасно описана в Википедии, но основная часть — это то, что я выделил в следующей цитате:

[Степенной закон — это] функциональная связь между двумя величинами, при которой относительное изменение одной величины приводит к пропорциональному относительному изменению другой величины, независимо от начального размера этих величин.

(Математически) приятная часть заключается именно в том, что в действительно большом диапазоне значений x значения y следуют одной и той же зависимости. Обычно «действительно большой диапазон» означает значения, распространяющиеся от 3 до даже 10 степеней десяти.

При подгонке степенных законов на практике возникают эффекты по частям шкалы, т. е. для малых и больших величин.$x$-значения, которые обычно приписывают «эффектам конечного размера».

дальнейшее чтение

• Существует исследовательская разновидность самоорганизованной критичности (SOC) , которая «считается одним из механизмов возникновения сложности в природе» . Одним из отцов-основателей (и матерей) был покойный Пер Бак . Его книга «Как работает природа» доступна для неспециалистов и, ИМХО, хорошо читается.

Политропная модель звезд сделала возможными ранние численные расчеты звездной структуры с использованием всего, от механических калькуляторов до первых электронных компьютеров, а в некоторых случаях даже аналитически!

В астрофизике политропа относится к решению уравнения Лейна – Эмдена, в котором давление зависит от плотности в виде

$$P=K\rho ^{{(n+1)/n}}$$

где$P$это давление,$\rho$это плотность и$K$есть константа пропорциональности. Постоянная$n$известен как индекс политропы; обратите внимание, однако, что индекс политропы имеет альтернативное определение, как и в случае$n$как показатель.

Смотрите ответы на:

• Math SE: Могут ли существовать точные решения уравнения Лейна-Эмдена для действительных n≥0, отличных от 0, 1 или 5?
• Моделировалась ли когда-нибудь звёздная эволюция аналитически? особенно ответ @ProfRob !
• Соответствует ли переменный индекс политропы Эддингтона данным стандартной солнечной модели?
• Гравитация внутри звезды?