Сечение в релятивистском пределе: золотое правило Ферми все еще в силе?

Золотое правило Ферми по-прежнему применимо в релятивистском пределе и может быть переписано в лоренц-инвариантной форме. Начиная с вероятности перехода

$$W_{i\rightarrow f} = \frac{2\pi}{\hbar} |m_{if}|^2 \rho(E) \,,$$ иметь $W$Инвариант Лоренца, мы хотели бы, чтобы матричный элемент $|m_{if}|^2$и плотность конечных состояний $\rho(E)$быть инвариантным.

Это можно сделать, переставив несколько терминов. Немного помахивания руками для мотивации: волновая функция$\psi$(который находится в матричном элементе) должен быть нормализован$\int |\psi|^2 dV = 1$, что дает нам плотность (вероятность встречи с частицей)$1/V$. Теперь усиленный наблюдатель испытывает сокращение длины на$1/\gamma$, что меняет плотность на$\gamma/V$. Чтобы снова получить правильную вероятность, мы должны перенормировать волновую функцию к$\psi' = \sqrt{\gamma}\,\psi$путем вытягивания фактора Лоренца.

Итак, мы вводим новый матричный элемент

$$|{\cal M}_{if}|^2 = |m_{if}|^2 \prod_{i=1}^n (2 \gamma_i m_i c^2) =|m_{if}|^2 \prod_{i=1}^n (2E_i)^2$$ (это для $n$-процесс тела). Теперь вероятность перехода (здесь в дифференциальной форме) становится:

$$dW = \frac{2\pi}{\hbar} \frac{|{\cal M}_{if}|^2}{ (2E_1)^2 (2E_2)^2 \cdots} \cdot \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3n}} \, d^3p_1 \, d^3p_2 \, \cdots \delta({p_1}^\mu + {p_2}^\mu + \ldots - {p}^\mu )$$ Дельта-функция предназначена для обеспечения сохранения импульса и энергии. Теперь мы можем перегруппировать термины: $$\Rightarrow \quad dW = \frac{2\pi}{\hbar} \frac{|{\cal M}_{if}|^2}{ 2E_1 2E_2 \cdot \ldots} \cdot d_\mathrm{LIPS}$$ Плотность состояний/"фазовое пространство" $d\rho$заменяется релятивистской версией, иногда называемой лоренц-инвариантным фазовым пространством. $d_\mathrm{LIPS}$, который дается $$d_\mathrm{LIPS} = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3n}} \prod_{i=1}^n \frac{d^3p_i}{ 2E_i } \delta\left(\prod_{i=1}^n {p_i}^\mu - {p}^\mu \right) \,.$$ Хорошая вещь в релятивистской формуле для $dW$заключается в том, что в случае рассеивания частиц друг от друга это сразу показывает нам три важных вклада: не только матричный элемент и фазовое пространство, но и фактор потока $1/s$(куда $s = ({p_1}^\mu + {p_2}^\mu)^2$- переменная Мандельштама, и в случае, если массы пренебрежимо малы, $s \approx 2 E$). Этот фактор потока отвечает за общее $1/Q^2$падающий наклон, когда вы строите поперечное сечение по передаче импульса $Q = \sqrt{s}$, что полностью исходит из релятивистской кинематики.

Надеюсь, это ответит на ваши вопросы. Вот презентация (PDF) , которая подводит итог, с явным доказательством того, что это инвариант Лоренца.