Сила Кориолиса и сохранение углового момента

Это действительно сбивает с толку. Путаница возникает из-за этой очень своеобразной гипотезы:

Что, если человек не будет прикладывать к своим ногам касательную силу трения?

Это подразумевает наличие радиальной контактной силы у ног человека (я предпочитаю «контакт» «трению», которое относится к движению). И действительно, чтобы человек двигался радиально внутрь или даже оставался неподвижным в карусели, ему нужно как минимум уравновесить центробежное ускорение.

Итак, давайте представим, как человек может быть «без трения» по касательной и «с трением» в радиальном направлении: предположим, что по всей карусели есть скользкие концентрические рельсы, на которые человек может опереться, чтобы двигаться радиально, но которые мешают ему контролировать скорость вращения.

Предположим, что человек начинает неподвижно относительно рельса радиуса$r$на котором они стоят. Когда человек делает шаг внутрь, он подвергается упомянутому тангенциальному ускорению Кориолиса, что заставляет его начать скользить против часовой стрелки по внутренней направляющей радиуса$r-δr$на котором они сейчас стоят, на$δω$относительно карусели. Их скорость вращения относительно лаборатории теперь$ω+δω$, и$δω$таков, что их угловой момент не изменился:$rω=(r-δr)(ω+δω)$.

На мой взгляд, движение человека, наблюдаемое в лабораторной системе, будет линейным движением, потому что в начале человек имеет тангенциальную скорость.$ωr$и радиальная скорость$v$, и он сохранит этих двоих навсегда. Но тогда имеет ли смысл говорить о сохранении момента импульса? Я имею в виду, что он наверняка сохранится в лабораторном кадре, но движение идет по прямой (насколько я вижу).

Это имеет смысл! Помните, чтобы говорить об угловом моменте, нам не обязательно говорить о вращательном движении. Рассмотрим частицу в свободном падении вблизи Земли с ее начальным положением$(0,d,h)$и нулевая скорость. По формуле$\vec L=\vec r\times\vec p$можно видеть, что он имеет нулевой угловой момент по отношению к любой точке на линии$(0,d,z)$, но не равный нулю угловой момент относительно начала координат. Последнее

$$\vec L=m(d\hat j+z\hat k)\times\left(-\sqrt{2g(h-z)} \hat k\right)=-md\sqrt{2g(h-z)}\hat i.$$ Обратите внимание, что угловой момент не сохраняется при падении, даже если движение прямолинейное . Существует крутящий момент о происхождении.

Возвращаясь к вашему примеру, угловой момент сохраняется, потому что на частице нет крутящего момента, а не потому, что она находится на прямой.

Прочитав ваш вопрос еще раз, я попытался доказать, почему и как сохраняется угловой момент. В примере, заданном вопросом, нужно понять, как сохраняется угловой момент объекта, движущегося во вращающейся неинерциальной системе отсчета. Я кратко представлю свою попытку доказать, как и почему угловой момент является интегралом движения. Первый абзац ниже дан для полноты, а второй можно пропустить, где возникает рассматриваемая здесь проблема.

Сначала я попытался доказать, что угловой момент будет постоянным во времени, когда угловая скорость вращающейся системы постоянна. То есть, если r,u — полярные координаты с z=0, то$u=ωt$. Не имея потенциала вообще, мы строим функцию Лагранжа:

$$L=T(kinetic energy) = (½) [ \dot r^2 + (r \dot u )^2 ] .$$ Затем находят, что угловой момент равен $p_u = { \partial L \over \partial \dot u} =r^2 \dot u$. Построить функцию Гамильтона $H=p_r \dot r +p_u \dot u -L$найти $H=p_r ^2 + {p_u ^2 \over 2r^2} ={ \dot r^2 \over 2} + {r^2 \dot u^2 \over 2}$. Тогда, очевидно, ${\partial H \over \partial u} =0 = \dot p_u$. Итак, угловой момент есть константа движения.

Во-вторых, и в связи с вашим вопросом, я попытался доказать то же самое для непостоянной угловой скорости, то есть$\ddot u \ne 0$. Можно видеть, что функции (L и H) будут иметь одинаковую форму, но с разницей:$\dot u= \dot u(t) .$В любом случае, если функции имеют одинаковый вид, то:

$$H=p_r ^2 + {p_u ^2 \over 2r^2} ={ \dot r^2 \over 2} + {r^2 \dot u^2 \over 2},$$

и снова мы видим, что

$${\partial H \over \partial u} = \dot p_u =0 ,$$ то есть угловой момент является константой движения. Затем, взяв производную по времени от $p_u$у нас есть:

$$(d/dt) p_u= \dot p_u ={d \over dt} (r^2 \dot u) = 2r \dot r \dot u +r^2 \ddot u .$$ Это тот же результат, что и ваш пример. Но теперь мы доказали, что угловой момент является константой движения, поэтому $\dot p_u =0$и мы приходим к уравнению, данному в вашем примере:

$$2r \dot r \dot u =-r^2 \ddot u .$$

Но как насчет инерциальной системы отсчета? Мы понимаем, что движение будет линией, но это то, что мы не использовали в предыдущем анализе, так зачем использовать это здесь? Что мы можем представить, чтобы лучше понять проблему, так это следующее изображение:

Это показывает нам (я полагаю...), что и расстояние r, и угол u могут изменяться во время движения, что близко к тому, что здесь утверждает другой ответ на ваш пост: что угловой момент может не быть тавтология ноль. Итак, точно так же, как и раньше, работая в пуларной координате, находим гамильтониан. Очевидно, мы заключаем, что угловой момент будет равен нулю. Если принять, что частица движется по траектории, так что$\dot u =0$, то есть угол частицы постоянен, то мы видим, что функция Лагранжа имеет вид:$L= (½) \dot r^2$. От угла вообще нулевая зависимость.

Надеюсь, все это поможет. Что мы видим, так это то, что действительно, даже в инерциальной системе отсчета мы можем говорить об угловом моменте, который зависит исключительно от траектории (линейной) частицы относительно начала координат. В случае вращающейся системы этот факт интерпретируется как сила Кориолиса, способ увидеть для наблюдателя сохранение углового момента. Если угол постоянен, мы принимаем то, что вы утверждаете, как очевидное в вашем примере: сохранение - это тавтология. Во всех других случаях мы действительно находим, что сохранение влечет за собой ускорение системы.