Сила между двумя точечными диполями

Перейти от поля к силе будет сложно, потому что вы априори не знаете, как диполь реагирует на поле, особенно если поле неоднородно. Способ сделать это тот же, что и при нахождении поля для первого диполя: найти результирующую силу, действующую на два заряда второго диполя, а затем принять предел, когда их расстояние доходит до нуля (при сохранении заряда достаточно большим, чтобы дипольный момент постоянный). Это, на самом деле, довольно сумбурно, поэтому лучше вычислить энергию взаимодействия, а затем найти силу как градиент этой энергии.

Для этого начните с точечного диполя с дипольным моментом$\mathbf p$в начале, что вызывает электростатический потенциал

$$V_\text{dip}=\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3},$$ поэтому потенциальная энергия заряда $q$на позиции $\mathbf r$является $$U_{q}=q\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3}.$$

Чтобы сделать второй диполь, начните с заряда$-q$на позиции$\mathbf r$, и добавьте второй заряд$+q$на позиции$\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}$. Дипольный момент пары$\mathbf p'=q\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}$, а их энергия взаимодействия с первым диполем равна

$$U_\text{fin. dip.}=-q\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3}+q\frac{\mathbf p\cdot(\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}})}{\|\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\|^3}.$$

Теперь наступает сложное дело - взять предел$\Delta r\to 0$. Что усложняет, так это наличие$\Delta r$в знаменателе, с которым нужно иметь дело через первые два члена биномиального ряда:

$$\begin{align} \|\mathbf r+\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\|^{-3}&=\left(r^2+2\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf r +\Delta r^2\right)^{-3/2} \\& =\frac{1}{r^3}\left(1-\frac32 \times \frac{2\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}\cdot\mathbf r}{r^2}+O\left(\frac{\Delta r^2}{r^2}\right)\right) \\& \approx\frac{1}{r^3}-3\frac{\Delta r}{r^4}\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{r}}, \end{align}$$ игнорируя квадратичные члены. Вложив это в энергию взаимодействия, вы получите

$$U_\text{fin. dip.}=-q\frac{\mathbf p\cdot \mathbf r}{r^3}+q(\mathbf p\cdot\mathbf r+\Delta r\,\mathbf p\cdot\hat{\mathbf{n}})\left(\frac{1}{r^3}-3\frac{\Delta r}{r^4}\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{r}} \right)+O\left(q\frac{\Delta r^2}{r^5}\right).$$

Здесь постоянные члены сокращаются, и у вас остаются два разных линейных члена.

$$U_\text{fin. dip.}= \frac{(q\Delta r\,\hat{\mathbf{n}})\cdot\mathbf p}{r^3} -3\frac{1}{r^3}(q\Delta r\hat{\mathbf{n}})\cdot\hat{\mathbf{r}}\times\mathbf p\cdot\hat{\mathbf{r}} +O\left(q\frac{\Delta r^2}{r^5}\right).$$

Чтобы принять предел, вы можете заметить, что в линейном выражении дипольный момент остается постоянным$\mathbf p'=q\Delta r\,\hat{\mathbf{n}}$, поэтому они просто остаются такими, какие они есть. Квадратичные члены, с другой стороны, имеют заряд, который увеличивается по мере увеличения$q=p'/\Delta r$, но их$\Delta r$зависимости быстрее и они падают до нуля. Тогда в пределе энергия взаимодействия равна

$$U_\text{dip.-dip.}= \frac{ \mathbf p'\cdot\mathbf p -3(\mathbf p'\cdot\hat{\mathbf{r}})(\mathbf p\cdot\hat{\mathbf{r}}) }{r^3} .$$

Чтобы почувствовать силу на втором диполе, вам нужно взять градиент относительно$\mathbf r$, или повторите этот расчет с дипольной силой

$$\mathbf F_\text{dip}=-\nabla V_\text{dip}=-\frac{\mathbf p}{r^3}+3\frac{\mathbf p \cdot \mathbf r}{r^5} \mathbf r.$$ Первое проще, хотя вы можете использовать форму $$U_\text{dip.-dip.}= \frac{ \mathbf p'\cdot\mathbf p }{r^3} -\frac{ 3(\mathbf p'\cdot{\mathbf{r}})(\mathbf p\cdot{\mathbf{r}}) }{r^5} .$$ Тем не менее, если вы не можете полностью воспроизвести шаги в моем расчете, я бы рекомендовал вам повторить его с усилием и проверить, совпадают ли оба подхода, иначе вы что-то упустите.