Какая сила действует на диполь в однородном электрическом поле?

Для электрического диполя с дипольным моментом п → помещают в электрическое поле Е → испытывает силу, заданную

Ф → "=" − ∇ U "=" − ∇ ( п → ⋅ Е → ) "=" ( п → ⋅ ∇ ) Е → .
Так Ф → "=" 0 если Е → является однородным. Но если мы используем Ф → "=" − 1 р ∂ U ∂ θ θ ^ и U "=" − п Е потому что ⁡ θ мы нашли Ф → ≠ 0 . В чем причина этого противоречия?

Ответы (1)

Угол θ фигурирующее в полярных координатах положение диполя не совпадает с углом θ ′ между направлением диполя и направлением электрического поля. Когда вы переводите диполь в пространстве, θ меняется, но θ ′ не. Вы совместили два.

Это может помочь выразить силу и крутящий момент в векторной форме. Энергия взаимодействия U "=" − п → ⋅ Е → и мы принимаем Е → быть однородным в пространстве. Следовательно, это выражение не зависит от положения р → . Мы можем записать силу как

Ф → "=" − ∇ → р → U
и выразить его, если хотите, в полярных координатах, определяемых через р → "=" ( р грех ⁡ θ потому что ⁡ ф , р грех ⁡ θ грех ⁡ ф , р потому что ⁡ θ ) , но для однородного поля получим Ф → "=" 0 → так или иначе, потому что U не имеет зависимости от р → .

Если мы запишем диполь с точки зрения его величины и единичного вектора, подобного этому п → "=" п е → , крутящий момент может быть выражен

т → "=" − е → × ∇ → е → U
где следует отметить, что градиент относится к компонентам вектора е → , нет р → . Для данной формы энергии U "=" − п е → ⋅ Е → это становится
т → "=" п е → × Е → "=" п → × Е → .
Опять же, при желании это можно записать в полярных координатах. Нам нужно определить е → "=" ( грех ⁡ θ ′ потому что ⁡ ф ′ , грех ⁡ θ ′ грех ⁡ ф ′ , потому что ⁡ θ ′ ) , где углы θ ′ и ф ′ - полярные углы диполя, не такие, как θ и ф . Если мы выберем Е → указать в г направление, то п → ⋅ Е → "=" п Е потому что ⁡ θ ′ так что мы можем написать U "=" − п Е потому что ⁡ θ ′ . Я не буду расписывать вывод, но это не так уж сложно. Это дает тот же результат.

Может быть некоторое внешнее сходство между выражением для крутящего момента на диполе, действующего вокруг центра диполя, и обычно используемой формулой для крутящего момента вокруг начала координат, создаваемого силой Ф → действующий в точке р → , а именно р → × Ф → . Эта последняя формула здесь неприменима: сила Ф → равно нулю, и в любом случае выражение р → × Ф → будет включать полярные углы θ и ф , нет θ ′ и ф ′ . Можно получить выражение для крутящего момента, записав диполь как два заряда при ± г е → (где г мало), оценивая силу, действующую на каждый заряд, и применяя формулу ± г е → × Ф → к обоим обвинениям. Это дает внешне похожую формулу на р → × Ф → , но с ориентацией е → , нет р → .

Но если мы не будем различать θ и θ ′ , выражение крутящего момента получено правильно. Почему? Обратите внимание, что, рассматривая р → × Ф → , я получаю правильную формулу для крутящего момента, используя второй набор уравнений.
Крутящий момент определяется с точки зрения градиента относительно ориентации диполя, а не положения. Поэтому правильно выражается в терминах θ ′ , нет θ , в моих обозначениях.
Я расширил свой ответ, надеюсь, чтобы уточнить, если кто-то еще посмотрит на это. Выражение р → × Ф → здесь не применимо: это не то, как определяют крутящий момент на диполе. Можно получить выражение для крутящего момента, записав диполь как два заряда при ± г е → (где г мало), оценивая силу, действующую на каждый заряд, и применяя формулу ± г е → × Ф → к обоим обвинениям. Вот почему формулы выглядят одинаково. Надеюсь, это поможет.
Какая сила действует на диполь в однородном электрическом поле?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v