Сколько сигм было при открытии W-бозона?

Посмотрите на рисунок 1.3 в этой лекции .

Количество Z-бозонов, около 22, на экстраполированном фоне, равном 0, составляет пять сигм.

С W сложнее, так как он обнаруживается по якобинскому пику (поиск якобина ) наблюдаемого электрона, рис. 1,4, но все же это намного больше 5 сигм.

На самом деле, когда явление выходит за возможный фон, даже одно событие имеет большее значение, чем статистика одного. Возьмите лямбда-барион . Даже если вы видите только один, нет сомнений в его существовании. Парное рождение протона и отрицательного пиона не может быть заметено под ковер статистики (за исключением случаев, когда это ошибка измерения, что является другой историей).

The $W$-бозон был открыт в 1983 году на коллайдере UA1

Экспериментальное наблюдение изолированных электронов большой поперечной энергии с соответствующей недостающей энергией при s**(1/2) = 540 ГэВ UA1 Collaboration (G. Arnison et al.), Phys.Lett. B122 (1983) 103-116, эксперимент: CERN-UA-001, февраль 1983 г.

В статье нет доказательств прецедента в физике высоких энергий, что открытие требует$5\sigma$значение.

В эксперименте наблюдалось шесть событий-кандидатов ($o=6$). По современным меркам заявление об открытии не было строгим: в статье не обсуждалась статистическая значимость наблюдения. Тем не менее, усердие было уделено возможному происхождению, и был сделан вывод, что

ни один из рассмотренных процессов не кажется даже близким к тому, чтобы стать конкурентоспособным.

Я думаю, разумно предположить, что среднее число ожидаемых событий в фоновой гипотезе было$0 < b \ll 1$. Я полагаю, что это случай колоссальной статистической значимости, может быть, намного большей, чем$5\sigma$.

---

Позвольте мне набросать смысл и расчет уровня значимости. При поиске частицы человек заявляет об открытии, если наблюдения, по крайней мере, столь же «экстремальные», как наблюдаемые, вряд ли были сделаны в отсутствие этой частицы (нулевая гипотеза, только фон). «Настолько экстремально» формализуется с помощью тестовой статистики, такой как хи-квадрат, хотя в этом случае экстремальность означает наблюдение за шестью или более событиями.

Мы можем вычислить эту вероятность, предполагая, что фон имеет распределение Пуассона . Для примера возьмем$b=10^{-2}$:

$$p(o\ge6 | \text{background only hypothesis, expect } b \simeq 10^{-2}) \simeq 10^{-15}$$ Это, по сути, то, что известно как $p$-значение (вероятность столь экстремальных наблюдений в нулевой гипотезе).

В физике высоких энергий принято преобразовывать$p$-значения в значения (односторонний$Z$-баллы). Отношения таковы, если$X$следует стандартному нормальному распределению,

$$p(X > Z) = \text{$p$-value}$$ т.е. количество вероятности в правой части стандартного нормального распределения для $X>Z$это $p$-ценить. С этим правилом наша $p$-value соответствует значимости около $8\sigma$. Собственно, вот таблица фоновых уровней $b$, $p$-ценности и $Z$-scores (спасибо scipy.stats!):

b      p-value           z-score
1      0.000594184817582 3.24165698309
0.5    1.41649373223e-05 4.18649213413
0.1    1.27489869223e-09 5.95823304548
0.01   1.37703605634e-15 7.90157221605
0.001  1.38769893338e-21 9.4708634946
0.0001 1.38876984648e-27 10.8196771789
1e-05  1.38887698418e-33 12.0203550264
1e-06  1.38888769841e-39 13.1128980073
1e-07  1.38888876984e-45 14.1220534022
1e-08  1.38888887698e-51 15.0643755536
1e-09  1.3888888877e-57  15.9515803405
1e-10  1.38888888877e-63 16.7923185584

---

The $p$-значение

$$p(\text{observing such an extreme outcome, } o \ge 6 | \text{background only hypothesis})$$ Это совсем не эквивалентно, $$p(\text{observing $b$ events, as predicted by background only hypothesis}| \text{best-fitting signal hypothesis, } s = \hat s) = \frac{e^{-\hat s} \hat s^b}{b!}$$ что для $b=0$и $s=6$дает $\text{$p$-value} = 0.002$соответствует меньше чем $3\sigma$. Однако это неправильная формула.