Скорость объекта, испытывающего равномерное ускорение

Question

Скорость объекта, испытывающего равномерное ускорение

Сидхарт Гошал

Итак, я рассматривал следующую проблему в контексте специальной теории относительности:

Для данного объекта O с начальной скоростью v, претерпевающего постоянное ускорение со скоростью a, я хочу выразить скорость как функцию времени.

Итак, из ньютоновской механики:

скорость (S) = начальная скорость (v) + ускорение*время (a*t)

Однако это не имеет смысла в контексте специальной теории относительности, поскольку предполагает, что при определенном ускорении и достаточном количестве времени можно превысить скорость света.

Я понял, что мне нужно отображение ньютоновской скорости в ее специальный релятивистский эквивалент. Который я получил следующим образом:

Кинетический Эрел = $m_0*c^2/(1 - v_{\text{rel}}^2/c^2)^{1/2} - m_0*c^2$

Кинетический эньют = $1/2 m_0 v_{\text{newt}}^2$

Где $v_\text{rel}$ = релятивистская скорость, $v_{\text{newt}}$ = ньютоновская скорость, $m_0$ = масса покоя, $c$ = скорость света.

Приравняв их друг к другу и разделив на $m_0$ Я считаю, что:

\frac{с^{2}}{{(1 - \frac{в_{отн.}^{2}}{с^{2}})}^{\frac{1}{2}}} - с^{2} "=" \frac{1}{2} в_{тритон}^{2}

$\frac{c^2}{\left(1 - \frac{v_{\text{rel}}^2}{c^2}\right)^{\frac{1}{2}}} - c^2 = \frac{1}{2} v_{\text{newt}}^2$

Добавление $c^2$ в обе стороны и возводя в степень -1 нахожу:

\frac{{(1 - \frac{в р е л^{2}}{с^{2}})}^{\frac{1}{2}}}{с^{2}} "=" \frac{1}{с^{2} + 1 / 2 в_{тритон}^{2}}

$\frac{\left(1 - \frac{vrel^2}{c^2}\right)^{\frac{1}{2}}}{c^2} = \frac{1}{c^2 + 1/2 v_{\text{newt}}^2}$

умножая обе стороны на c^2, возводя в квадрат обе стороны, вычитая 1, умножая на -1 и извлекая квадратный корень, который у меня теперь есть:

в_{отн.} "=" с \cdot {(1 - \frac{с^{2}}{с^{2} + 1 / 2 в_{тритон}^{2}})}^{\frac{1}{2}}

$v_{\text{rel}} = c\cdot \left(1 - \frac{c^2}{c^2 + 1/2 v_{\text{newt}}^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

Таким образом, учитывая скорость из ньютоновской задачи, например: 5 м / с, я могу преобразовать ее в ее энергетический эквивалент в специальной теории относительности с помощью этой формулы. Обратите внимание, что по мере того, как ньютоновская скорость стремится к бесконечности, релятивистская скорость приближается к c, и при 0 обе величины равны 0.

Учитывая эту структуру, я точно знаю из ранее, что ньютоновская скорость задается как:

v(initial) + at или используя наши ранее определенные единицы измерения: v + at.

Поэтому релятивистская скорость может быть выражена как:

в_{отн.} "=" с \cdot {(1 - \frac{с^{2}}{с^{2} + 1 / 2 (в + а т)^{2}})}^{\frac{1}{2}}

$v_{\text{rel}} = c \cdot \left(1 - \frac{c^2}{c^2 + 1/2(v + at)^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

Это верно?

Лагербер

Привет, я взял на себя смелость набрать ваши математические уравнения с помощью LaTeX.

Ответы (2)

Скорость объекта, испытывающего равномерное ускорение

Привет, я взял на себя смелость набрать ваши математические уравнения с помощью LaTeX.

пульсар · Answer 1

В специальной теории относительности собственное ускорение определяется как

а "=" \frac{д ты}{д т},

$a = \frac{du}{dt},$ где

ты "=" \frac{д Икс}{д т} "=" в \frac{д т}{д т}

$u = \frac{dx}{d\tau} = v\frac{dt}{d\tau}$ - собственная скорость , а

д т "=" д т \sqrt{1 - в^{2} / с^{2}}

$d\tau = dt\sqrt{1-v^2/c^2}$ самое подходящее время . Так

\frac{д}{д т} (\frac{в}{\sqrt{1 - в^{2} / с^{2}}}) "=" а .

$\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) = a.$ Если мы проинтегрируем это за временной интервал

[0, t]

$[0,t]$ , получаем, если

a

$a$ постоянно,

\frac{в}{\sqrt{1 - в^{2} / с^{2}}} - \frac{в_{0}}{\sqrt{1 - в_{0}^{2} / с^{2}}} "=" а т,

$\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} - \frac{v_0}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}} = at,$ с

v_{0}

$v_0$ начальная скорость. Если мы определим константу

ж_{0} "=" \frac{в_{0}}{\sqrt{1 - в_{0}^{2} / с^{2}}},

$w_0 = \frac{v_0}{\sqrt{1-v_0^2/c^2}},$ затем

в^{2} "=" (1 - в^{2} / с^{2}) (а т + ж_{0})^{2},

$v^2 = (1 - v^2/c^2)(at+w_0)^2,$ чтобы мы наконец получили

в (т) "=" \frac{а т + ж_{0}}{\sqrt{1 + (а т + ж_{0})^{2} / с^{2}}} .

$v(t) = \frac{at+w_0}{\sqrt{1+(at+w_0)^2/c^2}}.$

Почему собственное ускорение определяется как $\frac{du}{dt}$ и не $\frac{du}{d\tau}$ ?

Альфред Центавр · Answer 2

В контексте специальной теории относительности вам нужно быть осторожным с такими ограничениями, как «предполагать постоянное ускорение» без дополнительных уточнений, потому что так же, как необходимо различать собственное время и координатное время, нужно различать собственное ускорение (ускорение) . измеряется акселерометром) и координатное ускорение , $\ddot x$ .

Собственное ускорение, как и собственное время, является инвариантным относительно системы отсчета, а координатное ускорение — нет.

Вполне приемлемо указывать постоянное правильное ускорение, но, как вы заметили, указание постоянного координатного ускорения несовместимо с релятивистской механикой.

Решение с постоянным правильным ускорением хорошо известно :

Простая задача состоит в том, чтобы решить движение тела, которое постоянно ускоряется. Что это значит? Мы не имеем в виду, что его ускорение, измеренное инерциальным наблюдателем, постоянно. Мы имеем в виду, что он движется так, что ускорение, измеренное в инерциальной системе отсчета, движущейся с той же мгновенной скоростью, что и объект, является одним и тем же в любой момент. Если бы это была ракета, и вы были бы на борту, вы бы испытали постоянную перегрузку. Эта проблема может быть решена несколькими способами. Один из них - использовать четырехвекторное ускорение вдоль его мировой линии, которое должно иметь постоянную величину. В качестве альтернативы объект постоянно переходит из одной инерциальной системы отсчета в другую таким образом, что изменение его скорости за фиксированный интервал времени, рассматриваемое как ускорение Лоренца, всегда одинаково.
  v = c tanh(r/c)
Отсюда выводим уравнение
  v = c tanh(aT/c)

Скорость объекта, испытывающего равномерное ускорение

Сидхарт Гошал

Лагербер

Ответы (2)

пульсар

Четыре сезона

пульсар

Альфред Центавр

Скорость и кинетическая энергия, нарушающие теорию относительности Галилея

Запутался в том, что второй закон Ньютона неизменен относительно теории относительности.

Введение в специальный вопрос относительности — сохранение импульса

Инерциальные системы отсчета в ньютоновской механике и специальной теории относительности

Какая связь между механикой и электродинамикой заставляет их обе подчиняться одному и тому же принципу относительности?

Одновременность в ньютоновской механике

Почему верны уравнения Максвелла, а не законы движения Ньютона?

Эквивалентная длина простого маятника

Что происходит в автокатастрофе?

Лоренц-инвариантность волнового уравнения