Скорость замедления времени

Этот тип путаницы обычно легче всего устранить с помощью геометрической аналогии. Вы рисуете временную координату как пространственную координату и рисуете пути движущихся часов в пространственно-временном континууме относительно инерциальной системы отсчета, где началом будет центр Земли. Движущиеся вокруг Земли часы образуют пространственно-временную спираль двумя разными способами: одни часы вращаются по спирали с вращением Земли, а другие — против вращения Земли. Две спирали во времени имеют разную закрутку, количество витков в единицу времени разное, а две спирали одинаковой высоты с разной закруткой имеют в обычной геометрии разную длину — более закрученная длиннее.

Относительность такая же, как геометрия, за исключением знака минус в теореме Пифагора (см. здесь: постулаты Эйнштейна$\leftrightarrow$пространство Минковского для неспециалиста ). Знак минус гарантирует, что более закрученная спираль относительно короче , чем менее закрученная спираль, так что часы, движущиеся в направлении движения Земли, будут отсчитывать меньше времени, чем часы, движущиеся против вращения Земли. Часы, движущиеся против вращения Земли в современном джете, почти неподвижны относительно невращающегося центра земных координат, так как струя может лететь с близкой скоростью вращения, так что струя, идущая против вращения Земли, будет отсчитывая истинное невращающееся время центра Земли, в то время как струя, летящая вместе с Землей, получит уменьшение хода часов в соответствии с коэффициентом замедления времени скорости$\sqrt{1-v^2}$(в единицах, где скорость измеряется в безразмерных долях скорости света), множитель$\sqrt{1-v^2}$противопоставляется фактору длины дуги$\sqrt{1+y'^2}$в геометрии, которая дает дополнительную длину дуги на единицу смещения x, полученную при движении по кривой y (x).

Геометрия теории относительности, если не считать контринтуитивных изменений знака и качественных эффектов укорочения/удлинения, точно такая же, как полностью интуитивные (хотя и столь же сложные с математической точки зрения) эффекты длины дуги в вращательно-инвариантной евклидовой геометрии.

Точную разницу во времени можно рассчитать, как следует из общей теории относительности. Это должно прояснить, откуда берется разница во времени. Начнем с метрики слабого поля:

$$d s^2=-\left(1+{2\phi\over c^2}\right)c^2 d t^2 +\left(1-{2\phi\over c^2}\right)(d x^2 +d y^2 +d z^2)$$

Затем:

$$\tau_{AB} =\int_A^B d\tau =\int_A^B\sqrt{-{d s^2\over c^2}} =$$ $$=\int_A^B\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right)d t^2 -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)(d x^2 +d y^2 +d z^2)}=$$

$$=\int_A^B d t\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right) -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)\left( \left(d x\over d t\right)^2 + \left(d y\over d t\right)^2 + \left(d z\over d t\right)^2\right)}=$$

$$=\int_A^B d t\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right) -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)|{\bf V}|^2}$$ где $$|{\bf V}|^2= \left(d x\over d t\right)^2 + \left(d y\over d t\right)^2 + \left(d z\over d t\right)^2$$ – нерелятивистская скорость. Затем мы разложим квадратный корень в степенной ряд и сохраним только члены с малыми степенями $c$: $$\tau_{AB} =\int_A^B d t\sqrt{\left(1+{2\phi\over c^2}\right) -{1\over c^2}\left(1-{2\phi\over c^2}\right)|{\bf V}|^2} =\int_A^B d t\left(1+{\phi\over c^2}-{1\over 2c^2}|{\bf V}|^2\right)$$ так $$\tau_{AB} =\int_A^B d t\left(1-{1\over c^2}\left({1\over2}|{\bf V}|^2-\phi\right)\right)$$

Теперь пусть$V_g=V_g(t)$- скорость самолета относительно (вращающейся) Земли (положительная для полетов на восток, отрицательная для полетов на запад),$V_\oplus={2\pi R_\oplus\over24}\,{\rm1\over h}$поверхностной скорости Земли, то собственное время часов на поверхности равно:

$$\tau_\oplus =\int_A^B d t\left(1-{1\over c^2}\left({1\over2}V_\oplus^2-\phi_\oplus\right) \right)$$ и для часов в самолете

$$\tau =\int_A^B d t\left(1-{1\over c^2}\left({1\over2}(V_g+V_\oplus)^2-\phi\right) \right)$$ тогда разница между собственными временами равна: $$\tau-\tau_\oplus=\Delta\tau ={1\over c^2}\int_A^B d t\left(-{1\over2}(V_g+V_\oplus)^2+\phi +{1\over2}V_\oplus^2-\phi_\oplus\right) =$$ $$={1\over c^2}\int_A^B d t\left( \phi-\phi_\oplus-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right)$$ но $\phi-\phi_\oplus=g h$, где $h=h(t)$- высота самолета, поэтому окончательная формула: $$\Delta\tau ={1\over c^2}\int_A^B d t\left( gh-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right)$$ Оценим его для типичных высот и скоростей коммерческих самолетов: $$R_\oplus=6 378.1{\rm\,km}=6.3781\cdot10^6{\rm\,m}$$ $$V_\oplus={2\pi R_\oplus\over24}\,{\rm1\over h} ={2\pi R_\oplus\over24\cdot3600}\,{\rm1\over s} ={2\pi\,6.3781\cdot10^6\over24\cdot3600}{\rm m\over s}=463.83\rm\,{m\over s}$$

$$V_g = 870\,{\rm km\over h}=241.67\rm\,{m\over s}$$ $$h = 12{\rm\,km}=12000\rm\,m$$ $$t = {2\pi R_\oplus\over V_g} = {2\pi\,6.3781\cdot10^6\over 241.67}{\rm\,s} =165824.41{\rm\,s}\approx 46{\rm\,h}$$ $$c = 3\cdot10^8\rm\,{m\over s}$$ Для рейсов в восточном направлении мы получаем: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left( gh-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right) =-4.344\cdot10^{-8}{\rm\,s}=-43.44{\rm\,ns}$$ и для полетов в западном направлении мы получаем: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left( gh-{1\over2}V_g(V_g-2V_\oplus) \right) =3.6964\cdot10^{-7}{\rm\,s}=369.63{\rm\,ns}$$ Пренебрегая гравитацией, можно было бы получить: полеты в восточном направлении: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left(-{1\over2}V_g(V_g+2V_\oplus) \right) =-260.34{\rm\,ns}$$ и для рейсов в западном направлении: $$\Delta\tau ={t\over c^2} \left(-{1\over2}V_g(V_g-2V_\oplus) \right) =152.73{\rm\,ns}$$ Просто взяв часы на высоту $12\rm\,km$и пребывая там 46 часов (не двигаясь относительно инерциальной системы отсчета, например далеких галактик), получаем: $$\Delta\tau ={ght\over c^2}=216.90{\rm\,ns}$$

Возможно, вы думаете о «парадоксе близнецов» в специальной теории относительности, когда один близнец садится в ракету, которая разгоняется до скорости, близкой к скорости света (с), пролетает некоторое расстояние от Земли, замедляется, а затем ускоряется обратно к Земле, где он снова замедляется, чтобы приземлиться на землю. Близнец, который остался на Земле, будет намного старше, чем близнец, который путешествовал около c. Поэтому заманчиво думать, что ускорение и замедление вызывают асимметрию в старении. На самом деле асимметрия возникает исключительно из-за того, что путешествующий близнец использует две разные инерциальные системы отсчета по сравнению с одной системой отсчета для близнеца на Земле. См. « Парадокс близнецов» для полного объяснения. Так что продолжительность полета имеет значение, потому что именно здесь происходит замедление времени.

Как вы говорите, в дополнение к замедлению времени специальной теории относительности для движущихся систем отсчета существует также эффект замедления времени общей теории относительности из-за гравитационных полей. Принцип эквивалентности ОТО между ускоряющими системами отсчета и гравитационными полями подразумевает, что ускорение также вызывает замедление времени. Таким образом, все эти эффекты (как специальная, так и общая теория относительности) должны быть приняты во внимание в такого рода экспериментах.

Точный текст, цитируемый из Википедии, содержит:

«... ожидалось, что движущиеся часы будут стареть медленнее из-за скорости их движения»

Ваш вопрос: "Это правда?"

Ответ: «Нет, это неправда». То есть неправда, что часы должны были стареть медленнее из-за их скорости движения. Что правда, так это то, что одни часы стареют медленнее, а другие быстрее. Это не только то, что ожидалось, но и то, что действительно было найдено.

«О, пожалуйста… ОП наверняка задавался вопросом, будет ли какая-то разница между часами, а не то, была ли точная формулировка в этой мимолетной ссылке правильной».

Может быть. Но когда вы в основном запутались, пытаясь понять такие чуждые вещи, как относительность, даже небольшие неверные утверждения, подобные этому, могут действительно сбить вас с толку; во всяком случае, это сбивает меня с толку.

Хорошо, но перейдем к вашему реальному вопросу, который, я полагаю, действительно таков:

Откуда берется асимметрия, из-за которой один самолет стареет не так, как другой?

Вы можете найти систему отсчета, в которой эксперимент полностью симметричен; оба самолета ускоряются одинаково, проходят одинаковое расстояние с одинаковой скоростью. Эта система отсчета не та, которая использовалась для расчетов, но почему бы и нет? Почему конкретная система отсчета, в которой вращается Земля, более достоверна, чем любая другая? Вы могли бы даже придумать систему отсчета (которая вращается в два раза быстрее Земли), в которой асимметрия обратная. Что такого волшебного в системе отсчета, в которой Земля вращается со скоростью 360 градусов в сутки?

И ответ, как я в конце концов понял, заключается в том, что та система отсчета, в которой эксперимент симметричен, не является инерциальной системой отсчета, а та, которая использовалась для расчетов , является (или, по крайней мере, в большей степени) системой отсчета.

Вращение не является «относительным», оно имеет какое-то абсолютное значение (не то, чтобы я точно понял, что это за значение). Земля действительно вращается . Чтобы самолет мог двигаться со вращением Земли, ему сначала нужно разогнаться. Чтобы двигаться против вращения Земли, ему сначала нужно замедлиться в реальном, а не в относительном выражении. Следовательно, эксперимент не является симметричным.

Чтобы хотя бы начать понимать, почему вращение в каком-то смысле «абсолютно», или хотя бы поверить в это, если не понять, подумайте вот о чем:

Рассмотрим два шара на концах нити. Если пренебречь силой тяжести между ними, если шары и струна покоятся или движутся равномерно, струна между шарами будет провисать. Однако если бы вы вращали шарики вокруг центра нити, шарики попытались бы разлететься друг от друга, и нить натянулась бы. Невозможно посмотреть на этот сценарий из любой системы отсчета, где струна провисла.

Еще одна вещь: я не верю, что это правильно: «... только ускорение / замедление имеет место при сравнении двух часов в одном и том же кадре после определенных видов движений ... разница во времени двух часов в вышеупомянутом тесте одинакова вне зависимости от продолжительности полета"

Насколько я понимаю, после того, как вы разогнались, вы попадаете в новую инерциальную систему отсчета, с другим масштабом времени. Чем дольше вы остаетесь в этом новом кадре, тем больше будет накапливаться разница в ваших часах, и это будет очевидно, когда вы, наконец, вернетесь к исходному кадру.