Сложность численного решения уравнений Эйнштейна

Численная теория относительности зародилась в середине 1960-х годов и совершила крупный прорыв в 2005 году. Обсерватория гравитационных волн LIGO начала собирать данные в 2002 году, поэтому возникла необходимость сопоставить теоретическое моделирование слияния черных дыр с наблюдениями. Это окупилось в 2016 году, когда LIGO сделал свое первое обнаружение.

Уравнения Эйнштейна представляют собой десять связанных нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка в четырех измерениях... сложнейшая вычислительная задача!

Первой проблемой были аппаратные ограничения. Еще в 1995 году физики не могли даже численно решить уравнения для простой, известной аналитически, сферически-симметричной метрики Шварцшильда из-за сложности работы с сингулярностью. У суперкомпьютеров того времени не было достаточно памяти и вычислительной мощности для выполнения точных расчетов трехмерного пространства-времени.

В ситуации без какой-либо пространственной симметрии количество точек трехмерной сетки в дискретизированных уравнениях огромно, если вы хотите иметь приличное разрешение. Но в течение нескольких лет был достигнут прогресс в лобовых столкновениях черных дыр, использующих цилиндрическую симметрию. В конце концов аппаратное обеспечение достигло точки, когда оно больше не было узким местом, даже в ситуациях, когда нельзя было использовать симметрию. Но нужно было преодолеть длинный ряд других вычислительных проблем.

Первый заключался в формулировке уравнений таким образом, чтобы они представляли собой корректную начально-краевую задачу с удовлетворительной численной устойчивостью. Формализм Арновитта-Дезера-Миснера (ADM) «3+1» существует с 1959 года. Это гамильтоновский подход, в котором пространство-время расслаивается на пространственно-подобные трехмерные срезы, каждый со своей собственной внутренней трехмерной метрикой и внешней кривизной, которые эволюционируют. во время. Он сводит уравнения Эйнштейна к двенадцати связанным уравнениям эволюции первого порядка по времени (шесть для 3-метрики, шесть для внешней кривизны) плюс четыре уравнения ограничений. Этот формализм подходил для численного развития начального среза пространства-времени вперед во времени, но предотвращение роста численных ошибок было проблематичным, поскольку уравнения были лишь «слабо гиперболическими».

Формализм Баумгарте-Шапиро-Шибата-Накамура (BSSN), разработанный между 1987 и 1999 годами, преодолел эту проблему, переформулировав уравнения ADM, сделав их «сильно гиперболическими», что обеспечивает гораздо лучшую численную устойчивость.

Далее, поскольку общая теория относительности является калибровочной теорией, еще одной проблемой был вопрос о том, какая из различных возможных калибровок лучше всего подходит для выполнения вычислений. Оказалось весьма нетривиальным найти калибровочные условия, обеспечивающие численно устойчивые эволюции, но в конечном итоге оказалось подходящим семейство калибровок, называемое обобщенной гармонической калибровкой (GHG).

Трудным был вопрос о формулировке соответствующих данных для начальных условий. Исходные данные должны были быть не только физически правильными — например, для описания двух вращающихся вокруг черных дыр, каждая со спином, — но также должны были удовлетворять четырем уравнениям ограничений.

Работа с пространственными граничными условиями на бесконечности была еще одним препятствием. Вдали от двух черных дыр пространство-время должно принять форму исходящего гравитационного излучения. Численное решение должно гарантировать отсутствие гравитационного излучения, приходящего из бесконечности.

Уточнение сетки оказалось необходимым для обработки различных масштабов расстояний, которые имеют черные дыры, на всем пути от их горизонта до волновой зоны. И это уточнение сетки должно было быть реализовано таким образом, чтобы его можно было распараллелить на нескольких процессорах.

Извлечение физических результатов, таких как формы гравитационных волн, калибровочно-инвариантным способом из численного моделирования было нетривиальной задачей.

Работа с сингулярностью каждой дыры и объединенной дыры была серьезной проблемой. Были разработаны две разные методики. В методе «вырезания», предложенном в конце 1990-х годов, область вокруг сингулярности, но внутри горизонта, просто не эволюционирует, так как ничто, происходящее внутри дыры, не может повлиять на снаружи.

Второй метод, называемый «методом прокола», делил решение на аналитическую часть, содержащую сингулярность, и численно построенную часть, не содержащую сингулярностей. Но сначала прокол, содержащий сингулярность, оставался в фиксированных координатах, даже когда дыры двигались, в результате чего система координат растягивалась и деформировалась до такой степени, что возникали числовые нестабильности.

Прорыв 2005 года позволил проколам перемещаться по системе координат для контроля числовых нестабильностей. После этого можно было точно смоделировать пространство-время для слияния черных дыр.

Сорок лет напряженной работы сделали область численной относительности зрелой!

Этот пост основан на двух источниках: «Численная теория относительности» ( https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_relativity ) и «Прорыв в численной теории относительности для двойных черных дыр» ( https://arxiv.org/abs/1411.3997 ). ).