Смена базиса в нелинейном уравнении Шрёдингера

С линейными терминами, похоже, вы справитесь. В качестве общего совета, значение этих терминов всегда ясно, если проинтегрировать по импульсным координатам каждого из полей, используя дельта-функции для сохранения значения. Таким образом, нелинейный член будет

$$\sum_{q_1,q_2,q_3} g(q_1,q_2,q_3) \psi(q_1)^*\psi(q_2)\psi(q_3)\delta(-q_1+q_2+q_3 -k)$$

Может быть, вы также можете увидеть таким образом, что структура определяется инвариантностью сохранения/трансляции импульса. Теперь, когда я интегрирую это$\int\!dk\,e^{ikr}$,$k$интеграл решается тривиально, и у меня остаются преобразования Фурье по$q$с. Поскольку преобразования Фурье превращают умножение в свертку, вы можете подсчитать, что мы получаем

$$\int dr_{123}\,\tilde{g}(r-r_1,r-r_2,r-r_3)\tilde{\psi}^*\!(r_1)\tilde{\psi}(r_2)\tilde{\psi}(r_3)$$

Это более или менее наиболее общий нелинейный член третьего порядка, который вы можете написать. В вашем случае вы также можете уменьшить это, используя преобразования реального пространства$X$, либо подключившись непосредственно к первому написанному мной уравнению, либо вычислив$\tilde{g}$и подключаюсь ко второму.

Вот моя попытка ответа по предложению @Lagerbaer. Сначала заменим преобразование Фурье на$\psi_{LP}(k)$,

$$\begin{equation} \psi_{LP}(k)=\int dxe^{-ikx}\psi_{LP}(x), \end{equation}$$

и получить

$$\begin{multline} \int dxe^{-ikx}i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{-ikx}\psi_{LP}(x)\\+F_{p}(k)\,\, e^{-i\omega_{p}t} +\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\\ \times \sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2}). \end{multline}$$

Чтобы упростить это выражение, нам нужно применить обратное преобразование к обеим частям (умножить на$\int dke^{ikx}$), получение

$$\begin{multline} i\frac{d}{dt}\psi_{LP}(x)=\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dk\left[\epsilon(k)-i\frac{\gamma(k)}{2}\right]e^{ik(x-x^{\prime})}+F_{p}e^{i(k_{p}x-\omega_{p}t)}\\ +\int dke^{ikx}\int dx_{3}dx_{1}dx_{2}\\ \times\sum_{q_{1},q_{2}}g_{k,q_{1},q_{2}}\, e^{i(q_{1}+q_{2}-k)x_{3}}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\, e^{-iq_{1}x_{1}}\psi_{LP}(x_{1})\, e^{-iq_{2}x_{2}}\psi_{LP}(x_{2}). \end{multline}$$

Теперь рассмотрим интеграл вида$\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkf(k)e^{ik(x-x^{\prime})}$, для общей функции$f(k)$. Мы расширяем нашу общую функцию в ряд Тейлора вокруг$k=0$, и получить:

$$\begin{equation} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkk^{n}e^{ik(x-x^{\prime})}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\left(-i\right)^{n}\int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\partial_{x}^{n}\delta(x-x^{\prime}) \end{equation}$$

где мы воспользовались известным соотношением$\int dkk{}^{n}e^{ik(x-x^{\prime})}=\left(-i\right)^{n}\partial_{x}^{n}\delta(x-x^{\prime})$.

Перемещение оператора производной для действия$\psi$(интегрирование по частям), окончательно получаем

$$\begin{equation} \int dx^{\prime}\psi_{LP}(x^{\prime})\int dkf(k)e^{ik(x-x^{\prime})}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(i\partial_{x})^{n}\psi_{LP}(x)=f(i\partial_{x})\psi_{LP}(x) \end{equation}$$

Следовательно, первый член в правой части нашего уравнения упрощается до$\left[\epsilon(i\partial_{x})-i\frac{\gamma(i\partial_{x})}{2}\right]\psi_{LP}(x)$и нам остается иметь дело с термином взаимодействия.

$$\begin{equation} \int dx_{3}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\int dx_{1}\psi_{LP}(x_{1})\int dq_{1}e^{iq_{1}(x_{3}-x_{1})}\int dx_{2}\psi_{LP}(x_{2})\int dq_{2}e^{iq_{2}(x_{3}-x_{2})}\int dkg(k,q_{1},q_{2})e^{ik(x-x_{3})} \end{equation}$$

Подставляя форму$g(k,q_{1},q_{2})$, мы получаем

$$\begin{equation} g\int dx_{3}\psi_{LP}^{\star}(x_{3})\int dx_{1}\psi_{LP}(x_{1})\int dq_{1}X(q_{1})e^{iq_{1}(x_{3}-x_{1})}\int dx_{2}\psi_{LP}(x_{2})\int dq_{2}X(q_{2})e^{iq_{2}(x_{3}-x_{2})}\int dk\, X^{\star}(k)\, X^{\star}(q_{1}+q_{2}-k)\, e^{ik(x-x_{3})} \end{equation}$$

И вот тут я застрял..