Я изучаю модель Кронига-Пенни , изложенную в книге Киттеля: Введение в физику твердого тела.
В этой модели рассматривается потенциал периода, равный нулю в области (определить как регион I), в регионе (определить как область II) и снова ноль в области и т. д. и т. д., поэтому период повторения равен .
Уравнение Шредингера можно решить отдельно в области I и II, получая комплексные экспоненты в области I. В области II можно иметь как комплексные, так и действительные экспоненты, в зависимости от знака . Киттель берет настоящие экспоненты, не говоря ни слова, но я полагаю, что следует явно потребовать, чтобы ? Почему мы можем это сделать?
Кроме того, решения в области I и II связаны между собой требованием и . Но затем наступает решающий шаг: Киттель пишет, что теорема Блоха утверждает (в данном конкретном случае), что
У меня есть некоторые проблемы с пониманием этого. Я так понимаю периодичность кристалла , но почему это означает, что эта комбинация встречается в комплексной экспоненте? Кроме того, почему мы не можем сказать (помимо того, что это не поможет нам решить проблему)? Я действительно не понимаю, почему нужно связывать две разные волновые функции таким особым образом.
(1) Реальный и мнимый экспоненциальный вопрос: как вы сказали, является ли показатель экспоненты реальным или мнимым, зависит от знака . Хорошо, фиксируется системой, которую вы рассматриваете, но это параметр, который вы получаете для ввода. Другими словами, вы спрашиваете, как система ведет себя в зависимости от . Таким образом, вы можете задать вопросы, где больше, меньше или равно . Для изучения проводимости оказывается более полезным изучение связанных состояний, а значит Это потому, что вас интересует поведение электронов, связанных с твердым телом, вы не стреляете электронами из бесконечности в твердое тело.
(2) Вопрос об условии согласования: основное требование состоит в том, чтобы волновая функция была непрерывной и дифференцируемой всюду. Гарантируется, что она непрерывна и дифференцируема внутри двух областей. и , так что единственные места, где что-то может пойти не так, это (I) в и (II) в (что то же самое, что ). Вы можете установить условия в этих местах, используя любые координаты, которые вам нравятся. В частности, вы можете установить непрерывность волновой функции в точке (I), потребовав . Если вы сделаете это правильно, вы получите тот же ответ, что и Киттель, хотя он сформулировал то же самое условие, используя немного другие координаты. . Это полезное упражнение, чтобы увидеть, что это работает. Основная причина, по которой Киттель не делает этого, заключается в том, что он немного менее эффективен (требуется больше работы, чтобы получить тот же ответ).