Периодические дельта-потенциалы

Question

Периодические дельта-потенциалы

Эрик Ван

Я хочу изучить периодический потенциал, состоящий из дельта-функций, разнесенных на L. Для этого я хотел написать симметрию системы и законы сохранения или вырождения, которые происходят.

Я начал с периодического потенциала $V(x)=V(x+L)$ которое распространяется на все x. Волновая функция должна иметь ту же симметрию, что и потенциал, поэтому я беру оператор переноса T и говорю $T(L)V(x)=V(x)=V(x+L)=V(x)T(L)$ Итак, V и T(L) коммутируют, $[V,T(L)]=0$ .

Операторы переноса T(x) для любого x коммутируют друг с другом, поэтому T(L) должен коммутировать с последовательными небольшими переносами, которые в конечном итоге образуют оператор импульса. Так $[T(L),p]=0$ . Так $[T(L),p^2]=0$ . Кинетическая энергия $E_k$ , так $[T(L),E_k]=0$ .

Тогда коммутаторные тождества дают $[T(L),H]=0$ . Так $T(L)\psi_n=H\psi_n=E_n\psi_n$ .

Поскольку собственные функции энергии также являются собственными функциями переноса, я могу установить граничные условия $\psi_n(x)=\psi_n(x+L)$ и $\psi_n'(x)=\psi_n'(x+L)$ . Затем, для удобства, я буду считать x между 0 и L и решу SE как стандартное дифференциальное уравнение 2-го порядка:

\frac{п^{2}}{2 м} ψ_{н} (Икс) + дельта (Икс) ψ_{н} (Икс) "=" Е_{н} ψ (Икс)

$\frac{p^2}{2m}\psi_n(x)+\delta(x)\psi_n(x)=E_n\psi(x)$

Мой вопрос таков: я не думаю, что получу ответ, подобный $\psi=exp(-iax/L)u(x)$ , что, согласно теореме Блоха, я должен получить. Почему это так? Предназначена ли теорема Блоха только, например, для связанных состояний в твердых телах? Я думаю, что это может быть проблемой, потому что здесь я не указал, хочу ли я связанных или рассеянных состояний.

Джозеф Х

Каким бы ни был ваш потенциал, он должен воздействовать на государство

ψ_{n} (x)

$\psi_n(x)$ в вашем последнем уравнении. Вы пытались сделать это для одной дельты, затем для двух и т. д.?

Эрик Ван

@josephh, о, в последнем уравнении ошибка. Я починю это. Я делал как одинарную, так и двойную дельту, но я не думаю, что дельта меня смущает. Похоже, любой потенциал с периодичностью L даст ту же проблему.

Джозеф Х

Что ж, теорема Блоха верна для любого периодического потенциала, поэтому, если забыть о дельта-функции, как вы говорите, решение будет выглядеть так:

Ψ (Икс) "=" ты (Икс) е^{я к Икс}

$\Psi(x) =u(x) e^{ikx}$ Вы говорите, что думаете, что не получите этот ответ, но почему именно?

КП99

Окончательное выражение

ψ

$\psi$ также должен иметь ряд ступенчатых функций (которые исходят из дельта-функций) в зависимости от количества периодических движений, охватываемых в данный момент времени.

Эрик Ван

@josephh мой ответ будет выглядеть произвольным, если вы возьмете произвольную V (вместо дельта-функций). Так что я мог бы разделить свой пси на

e x p (i k x)

$exp(ikx)$ получить эту форму, но это будет глупо, и я думал, что теорема Блоха будет глубже.

Ответы (2)

Периодические дельта-потенциалы

Каким бы ни был ваш потенциал, он должен воздействовать на государство $\psi_n(x)$ в вашем последнем уравнении. Вы пытались сделать это для одной дельты, затем для двух и т. д.?
@josephh, о, в последнем уравнении ошибка. Я починю это. Я делал как одинарную, так и двойную дельту, но я не думаю, что дельта меня смущает. Похоже, любой потенциал с периодичностью L даст ту же проблему.
Что ж, теорема Блоха верна для любого периодического потенциала, поэтому, если забыть о дельта-функции, как вы говорите, решение будет выглядеть так: $Ψ (Икс) "=" ты (Икс) е^{я к Икс}$ $\Psi(x) =u(x) e^{ikx}$ Вы говорите, что думаете, что не получите этот ответ, но почему именно?
Окончательное выражение $\psi$ также должен иметь ряд ступенчатых функций (которые исходят из дельта-функций) в зависимости от количества периодических движений, охватываемых в данный момент времени.
@josephh мой ответ будет выглядеть произвольным, если вы возьмете произвольную V (вместо дельта-функций). Так что я мог бы разделить свой пси на $exp(ikx)$ получить эту форму, но это будет глупо, и я думал, что теорема Блоха будет глубже.

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90 · Answer 1

В начале ваших расчетов есть концептуальная ошибка. Периодичность потенциала не требует периодичности волновых функций. На самом деле теорема Блоха этого не говорит. В нем говорится, что эффект перехода $L$ состоит в том, чтобы оставить ту же волновую функцию в пределах фазового коэффициента $e^{i k L}$ . Это математическое следствие теоремы, но его также можно понять, исходя из того, что мы ожидаем периодичности вероятности наблюдаемой плотности $|\psi|^2$ , не просто $\psi$ .

Следовательно, ваши граничные условия должны учитывать такие более общие граничные условия. Это то же самое, что сказать, что собственные векторы переноса не равны. $1$ но $e^{i k L}$ . Возможные значения $k$ можно легко получить, потребовав глобальной периодичности волновых функций по всему периодическому кристаллу с граничными условиями, т.е. $e^{i k N L}=1$ . Все остальное не зависит от выбора суммы дельта-функций вместо непрерывных потенциалов.

Риши · Answer 2

Вы сформулировали следующее уравнение:
$Т (л) ψ_{н} "=" ЧАС ψ_{н} "=" Е_{н} ψ_{н} .$ $T(L)\psi_n=H\psi_n=E_n\psi_n.$ Это неправильно. Оператор сдвига и гамильтониан имеют общий собственный базис. Но собственное значение, соответствующее $T(L)$ не является $E_n$ .
Оператор перевода унитарный. Это значит, что
$(Т (л))^{†} "=" (Т (л))^{- 1} .$ $(T(L))^\dagger=(T(L))^{-1}.$ В этом легко убедиться, рассмотрев следующую форму $T(L)$ : $Т (л) "=" е^{я л \hat{п} / ℏ} .$ $T(L)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}L\hat{p}/\hbar}.$ Таким образом, у нас есть заметное ограничение на их собственные значения: они удовлетворяют $|\lambda|^2=1$ для $T|\psi\rangle=\lambda|\psi\rangle.$ Доказательство: $\begin{aligned} ⟨ ψ | Т^{†} Т | ψ ⟩ & "=" ⟨ ψ | (Т^{†} Т) | ψ ⟩ \\ "=" ⟨ ψ | ψ ⟩ или \\ "=" (⟨ ψ | Т^{†}) (Т | ψ ⟩) \\ "=" | λ |^{2} | ψ ⟩ \\ \Rightarrow | λ |^{2} & "=" 1 \end{aligned}$ $\begin{aligned}\langle\psi|T^\dagger T|\psi\rangle&=\langle\psi|(T^\dagger T)|\psi\rangle\\&=\langle\psi|\psi\rangle\quad\text{or}\\&=(\langle\psi|T^\dagger)(T|\psi\rangle)\\&=|\lambda|^2|\psi\rangle\\\Rightarrow|\lambda|^2&=1\end{aligned}$ Таким образом, мы определяем действие оператора сдвига $T(L)$ следующее: $Т (л) ψ "=" е^{я α} ψ .$ $T(L)\psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\psi.$ Действие этого оператора переноса на волновую функцию вида, предписываемого теоремой Блоха, есть правильный перенос волновой функции на $L$ . В частности, с волновой функцией $ψ "=" е^{я α Икс / л} ты (Икс); ты (Икс) "=" ты (Икс + л),$ $\psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha x/L}u(x);\quad u(x)=u(x+L),$ у нас есть $Т (л) ψ "=" е^{я α (Икс + л) / л} ты (Икс + л) .$ $T(L)\psi=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha(x+L)/L}u(x+L).$
Ясно, что следующие уравнения в вопросе также неверны:
$ψ (Икс) "=" ψ (Икс + л); ψ^{'} (Икс) "=" ψ^{'} (Икс + л) .$ $\psi(x)=\psi(x+L);\quad \psi'(x)=\psi'(x+L).$ Должен быть дополнительный фазовый фактор.
Теорема Блоха не «исключительно для связанных состояний». Решения, которые он предсказывает, не поддаются нормализации и используются в качестве основы для волновых пакетов.

Периодические дельта-потенциалы

Эрик Ван

Джозеф Х

Эрик Ван

Джозеф Х

КП99

Эрик Ван

Ответы (2)

GiorgioP-DoomsdayClockIsAt-90

Риши

Модель Кронига-Пенни

kkk-интервал для первой зоны Бриллюэна

Теорема Блоха

Ортонормированность волновой функции Блоха?

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Можем ли мы с уверенностью предположить, что Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} всегда в QM?

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

В каких случаях целесообразно решать стационарное уравнение Шредингера?

Ожидаемое значение гамильтониана?

Как доказать, что dp/dt = -dV/dx? Квантовая механика [закрыто]