Согласно теории относительности, с какой силой действуют друг на друга два электрона, движущихся радиально друг от друга?

Сила между зарядами стремится к нулю.

Чтобы убедиться в этом, поработайте в кадре одного из зарядов. С его точки зрения другой точечный заряд быстро удаляется, а поле движущегося заряда слабее вдоль направления движения, как показано ниже.

Один из дешевых способов увидеть это — представить, что линии поля «сократились по длине». При сколь угодно высоких скоростях поле, параллельное скорости, становится сколь угодно малым, поэтому сила исчезает.

---

Мы также можем быть немного более количественными. В лабораторной системе пусть частицы имеют скорость$v$и фактор Лоренца$\gamma$. Поле, с которым одна частица действует на другую, равно

$$\mathbf{E} \propto \frac{\gamma}{r^2 (1+\gamma^2 v^2/c^2)^{3/2}} \hat{r}.$$ Принимая $v \to c$предел, $\gamma \gg 1$и у нас есть $$\mathbf{E} \propto \frac{\gamma}{r^2 (\gamma^2)^{3/2}} \hat{r} \propto \frac{1}{\gamma^2} = 1-v^2/c^2 \propto 1-v/c.$$ где мы использовали пределы несколько раз. Поэтому, если вы начнете с огромных скоростей и приблизите их на 50% к скорости света, сила уменьшится вдвое.

Решение этого интересного вопроса должно включать как (а) искажение электрического поля точечных зарядов, когда они движутся со скоростью, близкой к скорости света, так и (б) время (поскольку чем дольше мы ждем, тем дальше друг от друга удаляются электроны, поэтому их взаимная сила становится меньше).

Поскольку электроны движутся вдоль одной и той же прямой линии, мы можем свести эту задачу к нахождению электрического поля вдоль одной оси (оси x). Кроме того, поскольку ваш вопрос спрашивает только о том, стремится ли сила к нулю, нам не нужно фактически включать движение обоих электронов - мы можем рассчитать силу в центральном положении из-за одного из электронов, и если она стремится к нулю, то сила на другом электроне также будет стремиться к нулю (поскольку он находится дальше, чем центральное положение).

Согласно уравнению 11.152 из книги Джексона «Классическая электродинамика» , электрическое поле при x=0, создаваемое частицей с зарядом$q$движение в направлении x от x = 0 со скоростью$v_x$является:

$E_x=-\frac{q}{\gamma^2 (v_xt)^2}$

Когда частица приближается к скорости света,$\gamma$стремится к бесконечности, поэтому электрическое поле стремится к нулю. Другой электрон удаляется от начала координат, поэтому поле в его местоположении также будет приближаться к нулю. Очевидно, что по мере увеличения времени появляется еще один фактор, уменьшающий электрическое поле в начале координат (поскольку электрон удаляется от начала координат), и это должно быть верным даже в нерелятивистском случае.$\gamma \approx1$.

Второе редактирование для учета нового вопроса из ОП:

Чтобы получить поле в месте расположения другого электрона, требуется немного больше усилий. Мы используем «штрихи» для обозначения переменных в системе координат, движущейся вместе с зарядом, который движется вправо, а нештрихованные координаты относятся к лабораторной системе отсчета (в которой электроны удаляются с одинаковой скоростью в любом направлении). В системе, движущейся с электроном, движущимся вправо, электрическое поле можно найти по градиенту потенциала, который равен:

$\phi'=q/r'$

и поскольку мы уже упоминали, что нам нужна только ось x, мы можем взять$r'=x'$. Так$\phi'=q/x'$. Тогда электрическое поле (в заштрихованной системе отсчета):

$E_x'=-\partial/\partial x'(\phi') =-\frac{q x'}{(x'^2)^{3/2}}$

используя преобразование Лоренца$x'=\gamma (x-vct/c)$в приведенном выше дает:

$E_x'=\frac{q \gamma (x-vct/c)}{(\gamma (x-vct/c))^{3}}$

Поскольку электрическое поле в направлении движения не трансформируется,$E_x'=E_x$, так

$E_x=\frac{q \gamma (x-vct/c)}{(\gamma (x-vct/c))^{3}}$

обратите внимание, что это выражение сводится к приведенному выше, когда мы берем$x=0$как мы сделали выше. Однако нам нужно поле в месте нахождения другого электрона, который в лабораторной системе отсчета имеет положение$x=-vt$. Вставка этого в приведенное выше выражение для поля дает:

$E_x=\frac{q }{4\gamma^2 (vt)^2}$

Фактор 4 происходит от$(2vt)^2$и отражает тот факт, что относительная скорость двух электронов равна$2v$.

Третье редактирование для учета нового вопроса из OP:

Если заряды ускоряются, то, поскольку сила направлена ​​только вдоль одной оси, нам не нужно включать член ускорения в выражение поля (см. третий член в уравнении 28.3 Фейнмана, том II). Скорость мгновенной системы покоя частицы, движущейся вправо, равна$v=v_0+at$, где$v_0$это скорость на$t=0$и$a$является его ускорение. Берем результат, полученный выше:

$E_x=\frac{q }{(\gamma(v) (x-vt))^{2}}$

и обратите внимание, что$\gamma=\gamma (v)$. Теперь частица, движущаяся влево, имеет местоположение$x=-at^2/2-v_0 t$. Вставка этих новых выражений для$v$и$x$в приведенное выше уравнение дает:

$E_x=\frac{q }{(\gamma(v) ((-at^2/2-v_0 t)-(v_0+at)t))^{2}}$

что сводится к неускоряющему случаю, когда$a=0$.