Сохранение энергии и теорема Пойнтинга

Сохранение энергии в электрической цепи можно выразить законом Ампера.

∇ × Б "=" мю о Дж + ϵ о мю о ∂ Е ∂ т
когда обе части уравнения отмечены точками Е и входная мощность помещается в левую часть уравнения, а рассеиваемая мощность (выходная мощность) помещается в правую часть уравнения.

Е ⋅ ( ∇ × Б ) − ϵ о мю о Е ⋅ ∂ Е ∂ т "=" Е ⋅ мю о Дж

Е ⋅ 1 мю о ( ∇ × Б ) − ϵ о Е ⋅ ∂ Е ∂ т "=" Е ⋅ Дж

Е ⋅ ( ∇ × ЧАС ) − ϵ о Е ⋅ ∂ Е ∂ т "=" Е ⋅ Дж

Единицы всех терминов [ Вт м 3 ] , то есть энергия в единицу времени на кубический метр.

Если нам теперь нужно получить теорему Пойнтинга из приведенного выше уравнения, то мы должны добавить к обеим частям уравнения член + Б ⋅ ∂ Б ∂ т которые по закону Фарадея расставлены точками Б равно − Б ⋅ ( ∇ × Е )

Е ⋅ ( ∇ × Б ) − ϵ о мю о Е ⋅ ∂ Е ∂ т + Б ⋅ ∂ Б ∂ т "=" Е ⋅ мю о Дж + Б ⋅ ∂ Б ∂ т

Е ⋅ ( ∇ × ЧАС ) − ϵ о мю о Е ⋅ ∂ Е ∂ т − Б ⋅ ( ∇ × Е ) "=" Е ⋅ мю о Дж + Б ⋅ ∂ Б ∂ т

Е ⋅ ( ∇ × ЧАС ) − Б ⋅ ( ∇ × Е ) "=" ϵ о мю о Е ⋅ ∂ Е ∂ т + Б ⋅ ∂ Б ∂ т + Е ⋅ мю о Дж

− ∇ ⋅ С "=" ϵ о Е ⋅ ∂ Е ∂ т + Б мю о ⋅ ∂ Б ∂ т + Е ⋅ Дж

где С "=" 1 мю о Е × Б "=" Е × ЧАС [ Вт м 2 ] — вектор Пойнтинга. Не делает ли вышеизложенное вектор Пойнтинга излишним при доказательстве CoE, поскольку последний, по-видимому, следует непосредственно из одного только закона Ампера?

Заметьте, это неправда

Е ⋅ ( ∇ × ЧАС ) − ϵ о Е ⋅ ∂ Е ∂ т "=" Е ⋅ Дж

«просто устанавливает некоторую связь» между векторными полями, так как это неверно, что

∂ ∂ т [ 1 2 ( ϵ 0 Е 2 + Б 2 мю 0 ) ]

«просто устанавливает некоторую связь» между векторными полями. Эти государства изменение плотности энергии электромагнитного поля . Как показано выше, получение вектора Пойнтинга является лишь результатом математической обработки уравнения, которое уже показывает баланс этих плотностей мощности, и поэтому вектор Пойнтинга и связанная с ним теорема избыточны.

Как сам по себе закон Ампера выражает закон сохранения энергии? Все, что я вижу в законе Ампера, это два поля и никакой энергии.

Ответы (2)

Это не ответ, а скорее намек. Со школьной скамьи я помню простую задачу, которая заставляет принять понятие вектора Пойнтинга. Если рассмотреть две заряженные частицы, движущиеся в перпендикулярных направлениях, и записать закон сохранения энергии/импульса для этой системы, решение будет явно содержать вектор Пойнтинга. В некоторых простых случаях (например, частицы, движущиеся в ОДНОМ направлении, или невзаимодействующие частицы, движущиеся в статическом поле) вы, очевидно, можете пропустить эту концепцию.

Карсус Рен прав. Закон Ампера просто устанавливает некоторую связь между тремя векторными полями. И, как вы написали, вам пришлось использовать закон Фарадея для вывода уравнения сохранения, поэтому одного только закона Ампера недостаточно.

Но моя главная мысль в том, что дело не в доказательстве сохранения энергии. То, что вы только что сделали, всего лишь некоторые математические манипуляции с уравнениями, которые привели к другому уравнению. По некоторым причинам нашими любимыми единицами измерения являются ватты и джоули, поэтому мы манипулировали нашими уравнениями таким образом, чтобы получить в них эти единицы. Мы называем результат «уравнением сохранения энергии», но в нем нет ничего нового или фундаментального . Какие бы уравнения у вас ни были , пока у вас есть достаточный набор единиц измерения, вы всегда можете произвести некоторые манипуляции и прийти к некоторому «уравнению сохранения энергии».

Таким образом, выведя уравнение сохранения энергии, вы просто сформулировали то, что уже знали, но несколько по-другому, что может оказаться полезным в некоторых ситуациях. Единственная цель вектора Пойнтинга в том, что это удобная замена, потому что вы можете интерпретировать его как плотность потока энергии .

Когда вы видите уравнение сохранения энергии, вы видите, что термин разумно называть

ϵ 0 Е ⋅ ∂ Е ∂ т + Б мю 0 ⋅ ∂ Б ∂ т "=" ∂ ∂ т [ 1 2 ( ϵ 0 Е 2 + Б 2 мю 0 ) ] ≡ ∂ ты ∂ т

изменение плотности энергии электромагнитного поля . Опять же, это просто то, как мы решили его назвать. Поскольку он имеет единицы энергии, в нем есть электрические и магнитные поля, и он фигурирует в уравнении сохранения. Используя эту удобную замену, вы получаете теорему Пойнтинга:

∂ ты ∂ т + ∇ ⋅ С "=" − Дж ⋅ Е

Интегрируя по произвольной области пространства и применяя теорему о дивергенции, вы получаете:

∂ ∂ т ∫ В ты г В "=" − ∮ ∂ В С ⋅ н г С − ∫ В Дж ⋅ Е г В

Это говорит о том, что изменение энергии электромагнитного поля в данной области (слева) может происходить либо потоком С через границу указанной области или при взаимодействии электрического поля с электрическим током, что мы называем теплом Джоуля . Забыв о последнем члене, вы видите, что вектор Пойнтинга ведет себя так, как будто это действительно плотность потока энергии . В механике жидкости у вас есть точно такое же уравнение, только с другими переменными. Это уравнение неразрывности (сохранения массы):

г м г т "=" ∂ ∂ т ∫ В р г В "=" − ∮ ∂ В в ⋅ н г С

И мы основываем терминологию проточного типа на этой аналогии. Но всегда нужно быть осторожным с толкованием. Энергия не является чем-то реальным или материальным. То же самое и с его течением. Энергия есть свойство вещей. Но мышление в терминах потоков энергии (и использование вектора Пойнтинга) помогает нам понять и лучше визуализировать проблему в нашем мозгу и, возможно, делает различные практические вычисления более красивыми.

Поскольку я не могу комментировать вопрос выше, я должен сделать это здесь: Уважаемый ganzewoort, возможно, вам следовало прокомментировать здесь, а не модифицировать свой вопрос, тем самым нарушая хронологию сообщений. Что касается темы, вы могли бы ясно прочитать в моем ответе, что я в основном согласен с вами. Вектор указывания избыточен в вашем смысле. Однако в этом же смысле и закон сохранения энергии является избыточным, так как полностью выводится из уравнений Максвелла, поэтому ничего нового не сообщает.
Сохранение энергии и теорема Пойнтинга
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v